Разложи на простые множители число 7140.

1. Разложим число 7140 на простые множители: $7140 = 2 \cdot 3570 = 2 \cdot 2 \cdot 1785 = 2^2 \cdot 3 \cdot 595 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 119 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17$ 2. Найдем НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел 936 и 1404. Разложим числа на простые множители: $936 = 2 \cdot 468 = 2^2 \cdot 234 = 2^3 \cdot 117 = 2^3 \cdot 3 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13$ $1404 = 2 \cdot 702 = 2^2 \cdot 351 = 2^2 \cdot 3 \cdot 117 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$ НОД: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468$ НОК: $2^3 \cdot 3^3 \cdot 13 = 8 \cdot 27 \cdot 13 = 2808$ 3. Докажем, что числа: a) 483 и 368 не взаимно простые. Разложим числа на простые множители: $483 = 3 \cdot 7 \cdot 23$ $368 = 2 \cdot 184 = 2^2 \cdot 92 = 2^3 \cdot 46 = 2^4 \cdot 23$ Так как у чисел есть общий делитель 23, то они не являются взаимно простыми. б) 468 и 875 взаимно простые. Разложим числа на простые множители: $468 = 2 \cdot 234 = 2^2 \cdot 117 = 2^2 \cdot 3 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13$ $875 = 5 \cdot 175 = 5^2 \cdot 35 = 5^3 \cdot 7$ Так как у чисел нет общих делителей, то они являются взаимно простыми. 4. Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты, причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число роз было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете? Всего роз: $156 + 234 + 390 = 780$ Пусть $x$ - количество букетов. Тогда количество роз каждого вида в одном букете: Чайных: $156/x > 50$ (не подходит, так как $156/50 = 3,12$ - не целое число) Белых: $234/x > 50$ (не подходит, так как $234/50 = 4,68$ - не целое число) Красных: $390/x > 50$ (не подходит, так как $390/50 = 7,8$ - не целое число) Разложим количество роз каждого вида на простые множители: $156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$ $234 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$ $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ Найдем НОД (156, 234, 390) = $2 \cdot 3 \cdot 13 = 78$ Тогда количество букетов $x = 78$ Количество роз каждого вида в одном букете: Чайных: $156/78 = 2$ Белых: $234/78 = 3$ Красных: $390/78 = 5$ Всего роз в одном букете: $2 + 3 + 5 = 10$ (но в условии сказано, что число роз было больше 50, значит надо найти другой делитель) Найдем все общие делители чисел 156, 234, 390: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 Если число букетов равно 6, то роз каждого вида в одном букете: Чайных: $156/6 = 26$ Белых: $234/6 = 39$ Красных: $390/6 = 65$ Всего роз в одном букете: $26 + 39 + 65 = 130 > 50$ (подходит) 5. В киоск привезли тетради. Если их разложить в пачки по 15 тетрадей в каждую или по 20 тетрадей, то в обоих случаях лишних тетрадей не окажется. Сколько тетрадей привезли в киоск, если их было больше 900, но меньше 1000? Это число должно делиться на 15 и на 20, то есть быть кратным 15 и 20. НОК(15, 20) = 60. Значит, число тетрадей должно быть кратно 60. Найдем кратные числа 60, находящиеся в диапазоне от 900 до 1000: $60 \cdot 15 = 900$ $60 \cdot 16 = 960$ $60 \cdot 17 = 1020$ Так как число тетрадей должно быть больше 900 и меньше 1000, то подходит только число 960. **Ответы:** 1. $7140 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17$ 2. НОД(936, 1404) = 468, НОК(936, 1404) = 2808 3. а) 483 и 368 не взаимно простые, т.к. имеют общий делитель 23; б) 468 и 875 взаимно простые, т.к. не имеют общих делителей 4. 6 букетов; в одном букете: 26 чайных, 39 белых и 65 красных роз 5. 960 тетрадей