Выполни действия, представь в виде дроби выражение, упрости выражение, докажи тождество, найди значение выражения.

1. Выполните действия: 1) $$\frac{56x^3y^4}{z^5} \cdot (-\frac{z^4}{16x^2y^6}) = -\frac{56}{16} \cdot \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{y^4}{y^6} \cdot \frac{z^4}{z^5} = -\frac{7}{2} \cdot x \cdot y^{-2} \cdot z^{-1} = -\frac{7x}{2y^2z}$$ 2) $$\frac{72a^7}{c^{10}} : (24a^3c^8) = \frac{72}{24} \cdot \frac{a^7}{a^3} \cdot \frac{1}{c^{10} \cdot c^8} = 3 \cdot a^4 \cdot c^{-18} = \frac{3a^4}{c^{18}}$$ 3) $$\frac{6x-30}{x+8} : \frac{x^2-25}{2x+16} = \frac{6(x-5)}{x+8} \cdot \frac{2(x+8)}{(x-5)(x+5)} = \frac{6 \cdot 2}{x+5} = \frac{12}{x+5}$$ 4) $$\frac{5x-10}{x^2+14x+49} \cdot \frac{4x+28}{x-2} = \frac{5(x-2)}{(x+7)^2} \cdot \frac{4(x+7)}{x-2} = \frac{5 \cdot 4}{x+7} = \frac{20}{x+7}$$ 2. Представьте в виде дроби выражение: 1) $$(\frac{2a}{5b})^4 = \frac{(2a)^4}{(5b)^4} = \frac{2^4 a^4}{5^4 b^4} = \frac{16a^4}{625b^4}$$ 2) $$(-\frac{5m^4}{6n^6})^3 = -\frac{(5m^4)^3}{(6n^6)^3} = -\frac{5^3 (m^4)^3}{6^3 (n^6)^3} = -\frac{125m^{12}}{216n^{18}}$$ 3. Упростите выражение: $$(\frac{x^5}{4y^6})^4 : (-\frac{x^6}{8y^5})^8 = \frac{(x^5)^4}{(4y^6)^4} : \frac{(x^6)^8}{(8y^5)^8} = \frac{x^{20}}{4^4 y^{24}} \cdot \frac{8^8 y^{40}}{x^{48}} = \frac{(2^3)^8}{2^8 y^{24}} \cdot \frac{y^{40}}{x^{48-20}} = \frac{2^{24}}{2^8} \cdot \frac{y^{40-24}}{x^{28}} = 2^{16} \cdot \frac{y^{16}}{x^{28}} = \frac{65536 y^{16}}{x^{28}}$$ 4. Упростите выражение: 1) $$\frac{x^3-64}{x^2+14x+49} \cdot \frac{x^2-49}{x^2+4x+16} - \frac{77-11x}{x+7} = \frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{(x+7)^2} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{x^2+4x+16} - \frac{11(7-x)}{x+7} = \frac{(x-4)(x-7)}{x+7} + \frac{11(x-7)}{x+7} = \frac{(x-4)(x-7) + 11(x-7)}{x+7} = \frac{(x-7)(x-4+11)}{x+7} = \frac{(x-7)(x+7)}{x+7} = x-7$$ 2) $$(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}) : \frac{2a}{1-a^2} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{(a+1)(a-1)} : \frac{2a}{1-a^2} = \frac{a^2 - 2a + 1 - (a^2 + 2a + 1)}{a^2-1} : \frac{2a}{1-a^2} = \frac{-4a}{a^2-1} \cdot \frac{1-a^2}{2a} = \frac{-4a}{a^2-1} \cdot \frac{-(a^2-1)}{2a} = \frac{4a}{2a} = 2$$ 5. Докажите тождество $$(\frac{b^3}{b^2-8b+16} - \frac{b^2}{b-4}) : (\frac{b^2}{b^2-16} - \frac{b}{b-4}) - \frac{b^2+4b}{4-b} = (\frac{b^3}{(b-4)^2} - \frac{b^2}{b-4}) : (\frac{b^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b}{b-4}) - \frac{b(b+4)}{4-b} = (\frac{b^3 - b^2(b-4)}{(b-4)^2}) : (\frac{b^2 - b(b+4)}{(b-4)(b+4)}) - \frac{b(b+4)}{4-b} = (\frac{b^3 - b^3 + 4b^2}{(b-4)^2}) : (\frac{b^2 - b^2 - 4b}{(b-4)(b+4)}) - \frac{b(b+4)}{4-b} = \frac{4b^2}{(b-4)^2} : \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} - \frac{b(b+4)}{4-b} = \frac{4b^2}{(b-4)^2} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{-4b} - \frac{b(b+4)}{4-b} = \frac{b(b+4)}{-(b-4)} - \frac{b(b+4)}{4-b} = \frac{b(b+4)}{4-b} - \frac{b(b+4)}{4-b} = 0$$ 6. Известно, что $$9x^2 + \frac{25}{x^2} = 226$$. Найдите значение выражения $$3x - \frac{5}{x}$$. Пусть $$y = 3x - \frac{5}{x}$$. Тогда $$y^2 = (3x - \frac{5}{x})^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{5}{x} + (\frac{5}{x})^2 = 9x^2 - 30 + \frac{25}{x^2} = 9x^2 + \frac{25}{x^2} - 30 = 226 - 30 = 196$$ $$y^2 = 196$$ $$y = \pm \sqrt{196} = \pm 14$$ **Ответ:** $$3x - \frac{5}{x} = \pm 14$$