Найди расстояние от прямой AB до оси цилиндра, если отрезок AB равен 10 см, точки A и B лежат на разных окружностях оснований цилиндра, высота 6 см, а радиус основания 5 см.

Вариант 2. 1. Пусть $O_1$ и $O_2$ – центры оснований цилиндра, $r = 5$ см – радиус основания, $h = 6$ см – высота цилиндра. Пусть $AB = 10$ см – данный отрезок, где $A$ и $B$ лежат на разных окружностях оснований. Пусть $d$ – расстояние от прямой $AB$ до оси цилиндра $O_1O_2$. Проведем $AA' \perp O_1O_2$ и $BB' \perp O_1O_2$, тогда $AA' = BB' = r = 5$ см. Пусть $M$ и $N$ – проекции точек $A$ и $B$ на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Тогда $MN$ – проекция $AB$ на эту плоскость. Расстояние от $AB$ до оси цилиндра равно расстоянию от $MN$ до центра окружности основания. $AB^2 = (AA' - BB')^2 + (A'B')^2 = (AA' - BB')^2 + (MN)^2$, так как $A'B'=MN$. $10^2 = (z_A - z_B)^2 + MN^2$, где $z_A$ и $z_B$ – координаты точек $A$ и $B$ вдоль оси $O_1O_2$. Т.к. точки $A$ и $B$ лежат на разных основаниях, то $|z_A - z_B| = h = 6$ см. $100 = 6^2 + MN^2$ $MN^2 = 100 - 36 = 64$ $MN = 8$ см. Пусть $d$ – расстояние от $MN$ до центра основания $O_1$. Тогда по теореме о хорде: $MN = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ $8 = 2\sqrt{5^2 - d^2}$ $4 = \sqrt{25 - d^2}$ $16 = 25 - d^2$ $d^2 = 9$ $d = 3$ см. **Ответ: 3 см**