Реши задачи 521-526 про цилиндр.

521. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, потому что образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, а основания – это диаметры. Чтобы найти диагональ осевого сечения, используем теорему Пифагора: $d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} = \sqrt{4^2 + (2 \cdot 1.5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ м **Ответ: 5 м** 522. a) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и диаметром основания. Угол между диагональю и высотой равен 60°. Тогда высоту цилиндра можно найти как: $h = d \cdot cos(60°) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см б) Радиус цилиндра можно найти, зная высоту и диагональ: $r = \frac{d \cdot sin(60°)}{2} = \frac{48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 12\sqrt{3}$ см в) Площадь основания цилиндра: $S = \pi r^2 = \pi (12\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 144 \cdot 3 = 432\pi$ см$^2$ **Ответ: a) 24 см, б) $12\sqrt{3}$ см, в) $432\pi$ см$^2$** 523. Осевое сечение – квадрат, значит, высота цилиндра равна стороне квадрата, которая равна диагонали, деленной на $\sqrt{2}$: $h = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см Площадь основания цилиндра: $S = \pi r^2 = \pi (5\sqrt{2})^2 = 50\pi$ см$^2$ **Ответ: а) $10\sqrt{2}$ см, б) $50\pi$ см$^2$** 524. Неверно. Осевые сечения могут быть равны, но при этом высоты и радиусы цилиндров могут отличаться (например, один цилиндр высокий и узкий, а другой – низкий и широкий). **Ответ: неверно** 525. Площадь осевого сечения цилиндра $S_{сеч} = 2rh = 10$ м$^2$. Площадь основания цилиндра $S_{осн} = \pi r^2 = 5$ м$^2$. Выразим радиус из площади основания: $r = \sqrt{\frac{5}{\pi}}$. Подставим в площадь осевого сечения: $2 \cdot \sqrt{\frac{5}{\pi}} \cdot h = 10$. Тогда высота цилиндра $h = \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{5}} = \sqrt{5\pi}$ м. **Ответ: $\sqrt{5\pi}$ м** 526. Отношение площади основания к площади осевого сечения: $\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$. То есть $\frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$. $\frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4}$, значит $h = \frac{2r}{\sqrt{3}}$. а) Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: $\tan{\alpha} = \frac{h}{2r} = \frac{2r}{\sqrt{3} \cdot 2r} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, значит $\alpha = \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 30°$. б) Угол между диагоналями осевого сечения: $\tan{\frac{\beta}{2}} = \frac{r}{h} = \frac{r \cdot \sqrt{3}}{2r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $\frac{\beta}{2} = \arctan{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\beta = 2 \cdot \arctan{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 100,89°$. **Ответ: а) 30°, б) 100,89°**