В треугольнике ABC известны стороны AB = BC = 20 см и угол A = 70°. Найди: 1) сторону AC

Привет! Давай решим задачу 125 по геометрии. В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = BC = 20$ см и угол $A = 70^\circ$. Нужно найти: 1) Сторону $AC$ 2) Медиану $CM$ 3) Биссектрису $AD$ 4) Радиус описанной окружности Решение: 1) Найдём сторону $AC$. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle A = \angle C = 70^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$. По теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$AC^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 40^\circ$$ $$AC^2 = 400 + 400 - 800 \cdot 0.766$$ $$AC^2 = 800 - 612.8$$ $$AC^2 = 187.2$$ $$AC = \sqrt{187.2} \approx 13.68 \text{ см}$$ 2) Найдём медиану $CM$. Пусть $M$ – середина стороны $AB$. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. По теореме косинусов для треугольника $AMC$: $$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos A$$ $$CM^2 = 187.2 + 10^2 - 2 \cdot 13.68 \cdot 10 \cdot \cos 70^\circ$$ $$CM^2 = 187.2 + 100 - 273.6 \cdot 0.342$$ $$CM^2 = 287.2 - 93.5712$$ $$CM^2 = 193.6288$$ $$CM = \sqrt{193.6288} \approx 13.91 \text{ см}$$ 3) Найдём биссектрису $AD$. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$ $$\frac{BD}{CD} = \frac{20}{13.68} \approx 1.46$$ Пусть $BD = 1.46x$, тогда $CD = x$. Так как $BC = BD + CD = 20$, то $1.46x + x = 20$, $2.46x = 20$, $x = \frac{20}{2.46} \approx 8.13$ см. Тогда $CD = 8.13$ см и $BD = 20 - 8.13 = 11.87$ см. Теперь воспользуемся формулой для длины биссектрисы: $$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD$$ $$AD^2 = 20 \cdot 13.68 - 11.87 \cdot 8.13$$ $$AD^2 = 273.6 - 96.5181$$ $$AD^2 = 177.0819$$ $$AD = \sqrt{177.0819} \approx 13.31 \text{ см}$$ 4) Найдём радиус описанной окружности $R$. Используем теорему синусов: $$\frac{AC}{\sin B} = 2R$$ $$R = \frac{AC}{2 \sin B}$$ $$R = \frac{13.68}{2 \cdot \sin 40^\circ}$$ $$R = \frac{13.68}{2 \cdot 0.643}$$ $$R = \frac{13.68}{1.286} \approx 10.64 \text{ см}$$ **Ответ:** 1) $AC \approx 13.68$ см 2) $CM \approx 13.91$ см 3) $AD \approx 13.31$ см 4) $R \approx 10.64$ см