Сформулируй и докажи теорему, выражающую третий признак подобия треугольников и сформулируй и докажи теорему о средней линии треугольника.

7. Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k$. Нужно доказать, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Отложим на стороне $AB$ отрезок $AB_2 = A_1B_1$ и проведем через точку $B_2$ прямую $B_2C_2$, параллельную $BC$. Тогда $\triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC$ по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Из подобия следует, что $\frac{AB}{AB_2} = \frac{BC}{B_2C_2} = \frac{CA}{C_2A}$. Так как $AB_2 = A_1B_1$, то $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_2C_2} = \frac{CA}{C_2A} = k$. По условию $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k$. Следовательно, $B_2C_2 = B_1C_1$ и $C_2A = C_1A_1$. Итак, треугольники $AB_2C_2$ и $A_1B_1C_1$ равны по трем сторонам. Значит, $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$. Так как $\triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC$, то и $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$. Что и требовалось доказать. 8. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.