Реши задачи 7-12 из учебника математики.

7. Решим задачи про тетради. a) Пусть в первой пачке $x$ тетрадей, тогда во второй $x + 20$ тетрадей. Вместе их 160. Получаем уравнение: $$x + (x + 20) = 160$$ $$2x + 20 = 160$$ $$2x = 140$$ $$x = 70$$ Значит, в первой пачке 70 тетрадей, а во второй $70 + 20 = 90$ тетрадей. б) Пусть в первой пачке $y$ тетрадей, тогда во второй $3y$ тетрадей. Вместе их тоже 160. Получаем уравнение: $$y + 3y = 160$$ $$4y = 160$$ $$y = 40$$ Значит, в первой пачке 40 тетрадей, а во второй $3 \cdot 40 = 120$ тетрадей. 8. Решим задачи про картину и стакан. a) Пусть рама стоит $r$ рублей, тогда картина стоит $10r$ рублей. Вместе они стоят 13200 рублей. Получаем уравнение: $$r + 10r = 13200$$ $$11r = 13200$$ $$r = 1200$$ Значит, рама стоит 1200 рублей, а картина $10 \cdot 1200 = 12000$ рублей. б) Пусть стакан стоит $s$ рублей, тогда подстаканник стоит $6s$ рублей. Вместе они стоят 280 рублей. Получаем уравнение: $$s + 6s = 280$$ $$7s = 280$$ $$s = 40$$ Значит, стакан стоит 40 рублей, а подстаканник $6 \cdot 40 = 240$ рублей. 9. Найдем значения выражений: a) Переведем все в сантиметры: $7 \text{ м } 6 \text{ см } = 706 \text{ см }$, $3 \text{ м } 8 \text{ дм } = 380 \text{ см }$. Тогда: $$706 - 380 = 326 \text{ см } = 3 \text{ м } 26 \text{ см } = 3 \text{ м } 2 \text{ дм } 6 \text{ см }$$ б) Переведем все в миллиметры: $8 \text{ дм } 4 \text{ мм } = 804 \text{ мм }$, $6 \text{ см } 7 \text{ мм } = 67 \text{ мм }$. Тогда: $$804 + 67 = 871 \text{ мм } = 8 \text{ дм } 7 \text{ см } 1 \text{ мм }$$ в) Переведем все в дециметры квадратные: $4 \text{ м}^2 = 400 \text{ дм}^2$. Тогда: $$(400 + 5) : 3 = 405 : 3 = 135 \text{ дм}^2$$ г) Переведем все в кубические сантиметры: $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$. Тогда: $$(1000 + 25) \cdot 16 = 1025 \cdot 16 = 16400 \text{ см}^3 = 16 \text{ дм}^3 400 \text{ см}^3$$ 10. Найдем, сколько нужно шпагата. Нужно обвязать ящик по длине, ширине и высоте и добавить 50 см на узел и концы. Значит: $$2 \cdot (40 + 20) + 2 \cdot 25 + 50 = 2 \cdot 60 + 50 + 50 = 120 + 100 = 220 \text{ см}$$ 11. Лёня мог продлить каждую сторону треугольника в обоих направлениях. На каждой прямой он отметил по 2 точки. Всего получилось 3 прямые и 4 точки, потому что две точки совпали в вершине треугольника. 12. Математическое исследование Число 10 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел следующими способами: $$1 + 9 = 10, \quad 1 \cdot 9 = 9$$ $$2 + 8 = 10, \quad 2 \cdot 8 = 16$$ $$3 + 7 = 10, \quad 3 \cdot 7 = 21$$ $$4 + 6 = 10, \quad 4 \cdot 6 = 24$$ $$5 + 5 = 10, \quad 5 \cdot 5 = 25$$ Наибольшее произведение равно 25. Проделаем то же самое с числом 12: $$1 + 11 = 12, \quad 1 \cdot 11 = 11$$ $$2 + 10 = 12, \quad 2 \cdot 10 = 20$$ $$3 + 9 = 12, \quad 3 \cdot 9 = 27$$ $$4 + 8 = 12, \quad 4 \cdot 8 = 32$$ $$5 + 7 = 12, \quad 5 \cdot 7 = 35$$ $$6 + 6 = 12, \quad 6 \cdot 6 = 36$$ Наибольшее произведение равно 36. Гипотеза: наибольшее произведение двух слагаемых, в сумме дающих число $N$, достигается, когда слагаемые наиболее близки друг к другу. Проверим для числа 15: $$1 + 14 = 15, \quad 1 \cdot 14 = 14$$ $$2 + 13 = 15, \quad 2 \cdot 13 = 26$$ $$3 + 12 = 15, \quad 3 \cdot 12 = 36$$ $$4 + 11 = 15, \quad 4 \cdot 11 = 44$$ $$5 + 10 = 15, \quad 5 \cdot 10 = 50$$ $$6 + 9 = 15, \quad 6 \cdot 9 = 54$$ $$7 + 8 = 15, \quad 7 \cdot 8 = 56$$ Наибольшее произведение равно 56, и оно достигается, когда слагаемые 7 и 8 наиболее близки друг к другу. Гипотеза подтвердилась.