2.85
а) Найдем НОД(a, b), если $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$:
Общие простые множители у чисел a и b: 2 и 3.
Перемножим их: $2 \cdot 3 = 6$
**Ответ: НОД(a, b) = 6**
б) Найдем НОД(a, b), если $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$, $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$:
Общие простые множители у чисел a и b: 3, 5 и 5.
Перемножим их: $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$
**Ответ: НОД(a, b) = 75**
2.86
а) Найдем наибольший общий делитель чисел 975 и 750:
Разложим оба числа на простые множители:
$975 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13$
$750 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$
Общие простые множители у чисел 975 и 750: 3, 5 и 5.
Перемножим их: $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$
**Ответ: НОД(975, 750) = 75**
б) Найдем наибольший общий делитель чисел 572 и 440:
Разложим оба числа на простые множители:
$572 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$
$440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$
Общие простые множители у чисел 572 и 440: 2, 2 и 11.
Перемножим их: $2 \cdot 2 \cdot 11 = 44$
**Ответ: НОД(572, 440) = 44**
в) Найдем наибольший общий делитель чисел 80, 140 и 56:
Разложим все числа на простые множители:
$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$
Общие простые множители у чисел 80, 140 и 56: 2 и 2.
Перемножим их: $2 \cdot 2 = 4$
**Ответ: НОД(80, 140, 56) = 4**
г) Найдем наибольший общий делитель чисел 170, 306 и 255:
Разложим все числа на простые множители:
$170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$
$306 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17$
$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$
Общие простые множители у чисел 170, 306 и 255: 17.
**Ответ: НОД(170, 306, 255) = 17**
2.87
Разложим оба числа на простые множители:
$675 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$
$896 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$
Так как у чисел 675 и 896 нет общих делителей, кроме 1, то они взаимно простые.
**Ответ: Числа 675 и 896 являются взаимно простыми**
2.88
а) Сократим дробь $\frac{12}{18}$:
$\frac{12}{18} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{2}{3}$
**Ответ: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$**
б) Сократим дробь $\frac{24}{36}$:
$\frac{24}{36} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3} = \frac{2}{3}$
**Ответ: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$**
в) Сократим дробь $\frac{72}{90}$:
$\frac{72}{90} = \frac{18 \cdot 4}{18 \cdot 5} = \frac{4}{5}$
**Ответ: $\frac{72}{90} = \frac{4}{5}$**
г) Сократим дробь $\frac{28}{128}$:
$\frac{28}{128} = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 32} = \frac{7}{32}$
**Ответ: $\frac{28}{128} = \frac{7}{32}$**
2.92
Представим числа 0,5; 0,24; 0,75 в виде обыкновенных дробей:
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$0,24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
**Ответ: $0,5 = \frac{1}{2}$; $0,24 = \frac{6}{25}$; $0,75 = \frac{3}{4}$**
2.93
Представим числа $\frac{1}{5}$; $\frac{11}{125}$; $\frac{8}{20}$; $5\frac{1}{2}$ в виде десятичных дробей:
$\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$
$\frac{11}{125} = \frac{11 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{88}{1000} = 0,088$
$\frac{8}{20} = \frac{8 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{40}{100} = 0,4$
$5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2} = 5 + 0,5 = 5,5$
**Ответ: $\frac{1}{5} = 0,2$; $\frac{11}{125} = 0,088$; $\frac{8}{20} = 0,4$; $5\frac{1}{2} = 5,5$**
2.94
а) Вычислим $78,9 + (65,65 - 5,5 \cdot (54,54 : 5,4)) \cdot 1,3$:
$54,54 : 5,4 = 10,1$
$5,5 \cdot 10,1 = 55,55$
$65,65 - 55,55 = 10,1$
$10,1 \cdot 1,3 = 13,13$
$78,9 + 13,13 = 92,03$
**Ответ: $78,9 + (65,65 - 5,5 \cdot (54,54 : 5,4)) \cdot 1,3 = 92,03$**
б) Вычислим $36,9 + (76,76 - 6,6 \cdot (95,95 : 9,5)) \cdot 27,4$:
$95,95 : 9,5 = 10,1$
$6,6 \cdot 10,1 = 66,66$
$76,76 - 66,66 = 10,1$
$10,1 \cdot 27,4 = 276,74$
$36,9 + 276,74 = 313,64$
**Ответ: $36,9 + (76,76 - 6,6 \cdot (95,95 : 9,5)) \cdot 27,4 = 313,64$**
Проверочная работа
1. Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
а) 12 и 15: НОД(12, 15) = 3. Значит, 12 и 15 не являются взаимно простыми.
б) 29 и 34: НОД(29, 34) = 1. Значит, 29 и 34 являются взаимно простыми.
в) 25 и 30: НОД(25, 30) = 5. Значит, 25 и 30 не являются взаимно простыми.
г) 72 и 73: НОД(72, 73) = 1. Значит, 72 и 73 являются взаимно простыми.
**Ответ: б) 29 и 34; г) 72 и 73**
