Найди радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $2 + \sqrt{2}$, и угол A четырехугольника ABCD, точки которого делят окружность в отношении 4:2:3:6.

8. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $2 + \sqrt{2}$. Найди радиус окружности, вписанной в этот треугольник. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит $a = b = 2 + \sqrt{2}$. Гипотенуза $c$ равна $a\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2$. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ Подставляем значения: $$r = \frac{(2 + \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) - (2\sqrt{2} + 2)}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ **Ответ: 1** 9. Точки $A, B, C, D$, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги $AB, BC, CD$ и $AD$, градусные величины которых относятся соответственно как $4:2:3:6$. Найди угол $A$ четырёхугольника $ABCD$. Ответ дайте в градусах. Пусть $x$ - это коэффициент пропорциональности. Тогда дуги равны $4x, 2x, 3x, 6x$. Сумма всех дуг составляет полную окружность, то есть 360 градусов: $$4x + 2x + 3x + 6x = 360$$ $$15x = 360$$ $$x = \frac{360}{15} = 24$$ Тогда дуги равны: $AB = 4x = 4 \cdot 24 = 96^{\circ}$ $BC = 2x = 2 \cdot 24 = 48^{\circ}$ $CD = 3x = 3 \cdot 24 = 72^{\circ}$ $AD = 6x = 6 \cdot 24 = 144^{\circ}$ Угол $A$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BCD$. Длина дуги $BCD$ равна $BC + CD = 48 + 72 = 120^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $$\angle A = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$$ **Ответ: 60**