В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C=60°. Найди АВ и $S_{ABC}$

Задача 1115 Для решения этой задачи нам понадобятся теорема синусов и формула площади треугольника. 1. Найдем угол B: $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$ 2. Применим теорему синусов для нахождения стороны AB: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$ $AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}$ см 3. Найдем площадь треугольника ABC, используя формулу: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sin 75^\circ$ Так как $\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3}$ см$^2$ **Ответ:** $AB = 6\sqrt{6}$ см, $S_{ABC} = 54 + 18\sqrt{3}$ см$^2$