Докажи, что ∆ABC = ∆CDA, если отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ нужно использовать признаки равенства треугольников. В данном случае, нам дан факт, что отрезки $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. 1. **Рассмотрим отрезки** $AC$ и $BD$. Пусть точка $O$ — точка их пересечения. Тогда, по условию, $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. **Общая сторона**. $AC$ — общая сторона для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. 3. **Равенство треугольников**. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. У них: * $AO = OC$ (по условию) * $BO = OD$ (по условию) * $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы) Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ следует равенство соответствующих сторон, то есть $AB = CD$. 4. **Доказательство равенства $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$**. * $AB = CD$ (доказано выше) * $BC = DA$ (так как $\triangle AOB = \triangle COD$, то $\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$, а значит, $\angle ABC = \angle DCB$. Вместе с $AB = CD$ и общей стороной $AC$ это даёт равенство $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними) * $AC$ - общая сторона. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). **Ответ: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны.**