Реши задачу: за 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Найди скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км /ч.

Пусть $x$ км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а против течения – $(x - 3)$ км/ч. Катер прошёл 36 км по течению реки за $\frac{36}{x+3}$ часов, и 48 км против течения за $\frac{48}{x-3}$ часов. Из условия задачи известно, что всё это заняло 6 часов. Получаем уравнение: $$\frac{36}{x+3} + \frac{48}{x-3} = 6$$ Умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$, чтобы избавиться от дробей: $$36(x-3) + 48(x+3) = 6(x+3)(x-3)$$ Раскроем скобки: $$36x - 108 + 48x + 144 = 6(x^2 - 9)$$ $$84x + 36 = 6x^2 - 54$$ Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$6x^2 - 84x - 90 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 6: $$x^2 - 14x - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета: $$x_1 + x_2 = 14$$ $$x_1 \cdot x_2 = -15$$ Подходят корни $x_1 = 15$ и $x_2 = -1$. Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = 15$ км/ч. **Ответ: 15 км/ч**