Докажи, что $A_1$, $M_1$ и $B$ лежат на одной прямой и найди длину отрезка $AB$, если $AA_1 : MM_1 = 3:2$, $AM = 6$.

1. Для доказательства, что точки $A_1$, $M_1$ и $B$ лежат на одной прямой, можно воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках, образованных параллельными прямыми, пересекающими стороны угла. Так как $AA_1 \parallel MM_1 \parallel BB$, то по теореме Фалеса (или обобщенной теореме Фалеса) точки $A_1$, $M_1$ и $B$ лежат на одной прямой. 2. Дано, что $AA_1 : MM_1 = 3:2$ и $AM = 6$. Пусть $AB = x$. Тогда $MB = AB - AM = x - 6$. Так как $AA_1 \parallel MM_1$, треугольники $AA_1B$ и $MM_1B$ подобны. Тогда имеем пропорцию: $\frac{AA_1}{MM_1} = \frac{AB}{MB}$ $\frac{3}{2} = \frac{x}{x - 6}$ Решаем уравнение: $3(x - 6) = 2x$ $3x - 18 = 2x$ $x = 18$ Таким образом, длина отрезка $AB$ равна 18. **Ответ: 18**