Реши уравнение arctg(x² - 9) = arctg8x

Чтобы решить уравнение $\arctan(x^2 - 9) = \arctan(8x)$, нужно приравнять аргументы арктангенсов, так как функция арктангенса является монотонной. Получаем уравнение: $$x^2 - 9 = 8x$$ Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 - 8x - 9 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Давай попробуем теорему Виета. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 8, а в произведении -9. Это числа 9 и -1. Итак, корни уравнения: $$x_1 = 9$$ $$x_2 = -1$$ Теперь проверим, подходят ли оба корня в исходное уравнение. Для этого подставим каждый корень в $\arctan(x^2 - 9) = \arctan(8x)$. Проверка $x_1 = 9$: $$\arctan(9^2 - 9) = \arctan(8 \cdot 9)$$ $$\arctan(81 - 9) = \arctan(72)$$ $$\arctan(72) = \arctan(72)$$ – верно. Проверка $x_2 = -1$: $$\arctan((-1)^2 - 9) = \arctan(8 \cdot (-1))$$ $$\arctan(1 - 9) = \arctan(-8)$$ $$\arctan(-8) = \arctan(-8)$$ – верно. Оба корня подходят. **Ответ: $x_1 = 9$, $x_2 = -1$**