Определи расстояние от вершины конуса, на котором следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания, если высота конуса равна h.

Пусть $h$ — высота конуса, $R$ — радиус основания конуса. Площадь основания конуса равна $S_{осн} = \pi R^2$. Пусть плоскость, перпендикулярная высоте конуса, проведена на расстоянии $x$ от вершины конуса. Тогда радиус сечения $r$ можно найти из подобия треугольников: $\frac{r}{R} = \frac{x}{h}$, откуда $r = \frac{Rx}{h}$. Площадь сечения равна $S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{Rx}{h}\right)^2 = \frac{\pi R^2 x^2}{h^2}$. По условию, площадь сечения в 3 раза меньше площади основания, то есть $S_{сеч} = \frac{1}{3} S_{осн}$. Следовательно, $$\frac{\pi R^2 x^2}{h^2} = \frac{1}{3} \pi R^2$$ $$\frac{x^2}{h^2} = \frac{1}{3}$$ $$x^2 = \frac{h^2}{3}$$ $$x = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{3}$$ **Ответ: Плоскость следует провести на расстоянии $\frac{h\sqrt{3}}{3}$ от вершины конуса.**