Найди НОД для чисел и определи, являются ли числа взаимно простыми.

2.85 a) НОД \((a, b)\) — это произведение общих простых множителей с наименьшими степенями. Для чисел $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$ общие множители 2 и 3. Берем их в наименьших степенях, то есть 2 в первой степени и 3 в первой степени. Значит, НОД \((a, b) = 2 \cdot 3 = 6\). б) Для чисел $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ общие множители 3, 5 и 5. Значит, НОД \((a, b) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\). 2.86 а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 975 и 750, разложим их на простые множители: $$975 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13$$ $$750 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$ Общие множители: 3, 5, 5. Значит, НОД \((975, 750) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\). б) Разложим 572 и 440 на простые множители: $$572 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$$ $$440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$$ Общие множители: 2, 2, 11. Значит, НОД \((572, 440) = 2 \cdot 2 \cdot 11 = 44\). в) Разложим 80, 140 и 56 на простые множители: $$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$$ $$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$$ $$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$$ Общие множители: 2, 2. Значит, НОД \((80, 140, 56) = 2 \cdot 2 = 4\). г) Разложим 170, 306 и 255 на простые множители: $$170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$$ $$306 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17$$ $$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$ Общий множитель: 17. Значит, НОД \((170, 306, 255) = 17\). 2.87 Чтобы определить, являются ли числа 675 и 896 взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, то числа взаимно простые. Разложим 675 и 896 на простые множители: $$675 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$$ $$896 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$$ У чисел 675 и 896 нет общих простых множителей. Следовательно, их НОД равен 1, и они взаимно простые. **Ответ:** 2.85 a) 6 б) 75 2.86 a) 75 б) 44 в) 4 г) 17 2.87 Числа 675 и 896 взаимно простые.