Найди корни квадратного трёхчлена, разложи на множители, сократи дробь, найди наименьшее значение квадратного трёхчлена, построй график функции и найди значение выражения.

1. а) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15$, нужно решить уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$. Используем теорему Виета: \\ $x_1 + x_2 = -2$ \\ $x_1 * x_2 = -15$ \\ Подходят числа 3 и -5. \\ **Ответ: x₁ = 3, x₂ = -5** б) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 11$, нужно решить уравнение $2x^2 + x - 11 = 0$. Найдем дискриминант: \\ $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-11) = 1 + 88 = 89$ \\ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{89}}{4}$ \\ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{89}}{4}$ \\ **Ответ: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{89}}{4}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{89}}{4}$** 2. а) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 35$, найдем его корни (как в первом задании): \\ $x^2 + 2x - 35 = 0$ \\ По теореме Виета: \\ $x_1 + x_2 = -2$ \\ $x_1 * x_2 = -35$ \\ Подходят числа -7 и 5. \\ Значит, $x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)$ \\ **Ответ: $(x + 7)(x - 5)$** б) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $5x^2 + 5x - 30$, сначала вынесем общий множитель 5: \\ $5x^2 + 5x - 30 = 5(x^2 + x - 6)$ \\ Теперь разложим $x^2 + x - 6$: \\ $x^2 + x - 6 = 0$ \\ По теореме Виета: \\ $x_1 + x_2 = -1$ \\ $x_1 * x_2 = -6$ \\ Подходят числа -3 и 2. \\ Значит, $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. \\ Итого: $5x^2 + 5x - 30 = 5(x + 3)(x - 2)$ \\ **Ответ: $5(x + 3)(x - 2)$** 3. Сократим дробь $\frac{3x^2 + x - 2}{x^2 + x}$ и вычислим её значение при $x = \frac{2}{3}$. \\ Сначала разложим числитель на множители. Решим уравнение $3x^2 + x - 2 = 0$. \\ $D = 1^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25$ \\ $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ \\ $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ \\ Тогда $3x^2 + x - 2 = 3(x - \frac{2}{3})(x + 1) = (3x - 2)(x + 1)$. \\ Разложим знаменатель: $x^2 + x = x(x + 1)$. \\ Теперь сократим дробь: \\ $\frac{3x^2 + x - 2}{x^2 + x} = \frac{(3x - 2)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{3x - 2}{x}$ (при $x ≠ -1$). \\ Вычислим значение при $x = \frac{2}{3}$: \\ $\frac{3 * \frac{2}{3} - 2}{\frac{2}{3}} = \frac{2 - 2}{\frac{2}{3}} = \frac{0}{\frac{2}{3}} = 0$ \\ **Ответ: 0** 4. а) Наименьшее значение квадратного трехчлена $(x - 4)^2 + 7$ достигается в вершине параболы. Так как $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, наименьшее значение будет при $(x - 4)^2 = 0$, то есть при $x = 4$. Тогда наименьшее значение равно 7. \\ **Ответ: 7** б) Чтобы найти наименьшее значение квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 5$, найдем вершину параболы. \\ $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 * 1} = -1$ \\ $y_в = (-1)^2 + 2 * (-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$ \\ **Ответ: -6** 5. Чтобы построить график функции $y = (x + 2)^2 - 3$, нужно понимать, что это парабола, смещенная на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке (-2, -3). :::div .chart-container @chart-1::: 6. Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x - 17$. Найдите значение выражения. \\ а) $f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$ \\ б) $f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_1 * x_2 + x_2^2$ По теореме Виета для $x^2 - 9x - 17 = 0$: \\ $x_1 + x_2 = 9$ \\ $x_1 * x_2 = -17$ \\ а) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9^2 - 2 * (-17) = 81 + 34 = 115$\\ **Ответ: 115** б) $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 = 9^2 - (-17) = 81 + 17 = 98$\\ **Ответ: 98**