Реши задачи по геометрии про трапецию: 61) чему равны углы равнобокой трапеции, если разность противолежащих углов 40°; 62) найди меньшее основание равнобокой трапеции; 63) найди основания трапеции, если высота делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см; 64) найди углы трапеции, если меньшее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне; 65) найди расстояние от середины отрезка AB до прямой a.

61. Пусть углы при большем основании равны $\alpha$, а при меньшем $\beta$. Тогда $\beta - \alpha = 40^{\circ}$. Так как сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$, то $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Решаем систему уравнений: $$\begin{cases} \beta - \alpha = 40^{\circ} \\ \alpha + \beta = 180^{\circ} \end{cases}$$ Сложим уравнения: $2\beta = 220^{\circ}$, значит $\beta = 110^{\circ}$. Тогда $\alpha = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. **Ответ:** $70^{\circ}$ и $110^{\circ}$. 62. Пусть большее основание $AD = 2,7$ м, боковая сторона $AB = 1$ м, угол между ними $\angle BAD = 60^{\circ}$. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH = AB \cdot cos(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5$ м. Так как трапеция равнобокая, то $AH = \frac{AD - BC}{2}$, где $BC$ - меньшее основание. Значит, $0,5 = \frac{2,7 - BC}{2}$. Отсюда $2,7 - BC = 1$, и $BC = 2,7 - 1 = 1,7$ м. **Ответ:** 1,7 м. 63. Пусть большее основание $AD$, высота $BH$, и $AH = 6$ см, $HD = 30$ см. Так как трапеция равнобокая, то $AH = \frac{AD - BC}{2}$, где $BC$ - меньшее основание. Тогда $AD = AH + HD = 6 + 30 = 36$ см. $6 = \frac{36 - BC}{2}$. Отсюда $36 - BC = 12$, и $BC = 36 - 12 = 24$ см. **Ответ:** 36 см и 24 см. 64. Пусть меньшее основание $BC$ равно боковой стороне $AB$, то есть $BC = AB$, а диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $AB$. Тогда треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle BCA$. Так как $\angle BAC + \angle BCA = 90^{\circ}$, то $\angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ}$. Тогда $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45^{\circ} + \angle CAD$. Так как трапеция равнобокая, то $\angle CDA = \angle BAD$. А $\angle BCA = \angle CAD = 45^{\circ}$ как накрест лежащие углы. Значит, $\angle BAD = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$. Итак, углы трапеции: $45^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}$. **Ответ:** $45^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}$. 65. **Допущение:** Прямая $a$ и отрезок $AB$ лежат в одной плоскости. Пусть $M$ - середина $AB$, $A_1$, $B_1$ и $M_1$ - проекции точек $A$, $B$ и $M$ на прямую $a$ соответственно. Тогда $AA_1 = 10$ м, $BB_1 = 20$ м. $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$. Значит, $M_1M = \frac{AA_1 + BB_1}{2} = \frac{10 + 20}{2} = 15$ м. **Ответ:** 15 м.