Найди значение выражения, определи тип треугольника и найди радиус окружности.

5. 1) Давай вычислим значение выражения $\sin 150^\circ \cdot \cos 135^\circ \cdot \tan 120^\circ$. * $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ * $\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\tan 120^\circ = \tan (180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$ Тогда: $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 2) Вычислим значение выражения $\operatorname{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \cdot \tan 179^\circ$. * $\operatorname{ctg} 150^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$, значит $\operatorname{ctg}^2 150^\circ = (-\sqrt{3})^2 = 3$ * $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит $2\sin^2 135^\circ = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$ * $\sin 0^\circ = 0$, значит $6 \sin 0^\circ \cdot \tan 179^\circ = 6 \cdot 0 \cdot \tan 179^\circ = 0$ Тогда: $3 - 1 + 0 = 2$ **Ответ:** 2 9. 1) Давай определим, каким является треугольник со сторонами 5 см, 8 см и 10 см. Для этого используем теорему косинусов. Пусть $a = 5$, $b = 8$, $c = 10$. Тогда $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$, где $\gamma$ - угол между сторонами $a$ и $b$. * $10^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos \gamma$ * $100 = 25 + 64 - 80 \cos \gamma$ * $100 = 89 - 80 \cos \gamma$ * $11 = -80 \cos \gamma$ * $\cos \gamma = -\frac{11}{80}$ Так как $\cos \gamma < 0$, то угол $\gamma$ тупой. Значит, треугольник тупоугольный. **Ответ:** тупоугольный 3) Давай определим, каким является треугольник со сторонами 25 см, 24 см и 7 см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза. * $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ * $25^2 = 625$ Так как $7^2 + 24^2 = 25^2$, то треугольник прямоугольный. **Ответ:** прямоугольный 32. Давай найдем радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, где $AC = 5\sqrt{2}$ см и $\angle B = 45^\circ$. По теореме синусов, $\frac{AC}{\sin B} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. * $R = \frac{AC}{2 \sin B}$ * $R = \frac{5\sqrt{2}}{2 \sin 45^\circ}$ * $R = \frac{5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$ * $R = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ **Ответ:** 5 см