На диагонали четырехугольника ABCD взяли точку E так, что ED = BC, ∠AED = ∠ABC. Найди AD, если AB = AE = 3, CE = 5; докажи, что AO = BO; докажи, что AK = CM.

5. Раз у четырехугольника $ABCD$ на диагонали взяли точку $E$ так, что $ED = BC$, $\angle AED = \angle ABC$, и $AB = AE = 3$, $CE = 5$, то нужно найти $AD$. Допущение: Четырехугольник $ABCD$ - трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, а точка $E$ лежит на диагонали $AC$. $\angle AED = \angle ABC$ говорит о том, что около четырехугольника $ABCE$ можно описать окружность. Значит, $\angle BAC = \angle BEC$ как опирающиеся на одну и ту же хорду $BC$. \$\triangle ABE$ - равнобедренный, так как $AB = AE = 3$. Значит, $\angle ABE = \angle AEB$. \$\triangle CED$ - равнобедренный, так как $ED = BC$. Значит, $\angle EDC = \angle ECD$. $\AD = AE + ED = 3 + 5 = 8$. **Ответ: 8** 9. Если на сторонах угла взяли точки $A$ и $B$ на равных расстояниях от вершины, и на биссектрисе этого угла взяли точку $O$, то нужно доказать, что $AO = BO$. Доказательство: 1) $\triangle AOB$ — равнобедренный, так как $AO = BO$. 2) $\angle OAB = \angle OBA$, так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы равных углов. 3) $AO = BO$ (по свойству биссектрис в равнобедренном треугольнике). **Ответ: $AO = BO$** 10. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяли точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$, $BM = BK$. Докажите, что $AK = CM$. Доказательство: $\triangle ABK = \triangle CBM$ (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, $AK = CM$. **Ответ: $AK = CM$**