Найди периметр и углы параллелограмма, если высота BK параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AK и KD такие, что AK = 4 см, KD = 6 см и ∠ABK = 30°.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. * $AK = 4$ см, $KD = 6$ см, значит, $AD = AK + KD = 4 + 6 = 10$ см. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $BC = AD = 10$ см. * В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол $\angle ABK = 30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $AK = \frac{1}{2} AB$, откуда $AB = 2AK = 2 \cdot 4 = 8$ см. $CD = AB = 8$ см. * Периметр параллелограмма $P = 2(AB + AD) = 2(8 + 10) = 2 \cdot 18 = 36$ см. * В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. * $\angle A = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. Тогда $\angle C = \angle A = 120^\circ$. * $\angle B = \angle D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $P = 36$ см, $\angle A = \angle C = 120^\circ$, $\angle B = \angle D = 60^\circ$. 2. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. * Пусть $BC = a$, тогда $BM = MC = \frac{a}{2}$. Пусть $AB = b$. * $MA = MD$ по условию. Треугольники $ABM$ и $DCM$ равны по двум катетам ($BM = MC$, $AB = CD$). Следовательно, $MA = MD = \sqrt{b^2 + (\frac{a}{2})^2}$. * Треугольник $MAD$ равнобедренный, следовательно, углы при основании $AD$ равны. Опустим высоту $MH$ на $AD$. Тогда $AH = HD = \frac{AD}{2} = \frac{b}{2}$. * Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$: $AM^2 = AH^2 + MH^2$. Тогда $b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{b}{2})^2 + MH^2$, откуда $MH^2 = b^2 - (\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{3b^2}{4} + \frac{a^2}{4}$. * С другой стороны, $MH = CD = b$. Значит, $b^2 = \frac{3b^2}{4} + \frac{a^2}{4}$. Домножим на 4: $4b^2 = 3b^2 + a^2$, откуда $a^2 = b^2$, следовательно, $a = b$. * Периметр прямоугольника $P = 2(a + b) = 36$ см. Так как $a = b$, то $2(a + a) = 36$, $4a = 36$, $a = 9$ см. Значит, $b = 9$ см. **Ответ:** Стороны прямоугольника равны 9 см.