Найди корень уравнения $9^{-5+x} = 729$. Найди значение выражения $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[3]{m} \cdot \sqrt[6]{m}}$ при $m = 64$. По графику функции $y = f(x)$, определенной на интервале $(-2; 12)$, найди сумму точек экстремума функции $f(x)$. К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.5$ Ом найди наименьшее сопротивление. Два человека идут к опушке леса, определи расстояние встречи. Найди абсциссу точки $B$ на графиках функций $f(x) = 5x + 9$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$. Найди наименьшее значение функции $y = \frac{2}{3}x^3 - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$.

1. Решим уравнение $9^{-5+x} = 729$: $9^{-5+x} = 9^3$ $-5+x = 3$ $x = 3+5$ $x = 8$ **Ответ: 8** 2. Найдем значение выражения $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[3]{m} \cdot \sqrt[6]{m}}$ при $m = 64$: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[3]{m} \cdot \sqrt[6]{m}} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{3}} \cdot m^{\frac{1}{6}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} = 1$ Так как выражение равно 1 при любом $m \neq 0$, то при $m = 64$ оно также равно 1. **Ответ: 1** 3. По графику функции $y = f(x)$, определенной на интервале $(-2; 12)$, найдем сумму точек экстремума функции $f(x)$. Из графика видно, что точки экстремума (максимума и минимума) находятся примерно в $x = 0$, $x = 3$, $x = 6$ и $x = 9$. Сумма точек экстремума: $0 + 3 + 6 + 9 = 18$. **Ответ: 18** 4. К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.5$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой $U = \frac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Нужно найти $R$ такое, что $U \geq 50$: $\frac{55R}{R + 0.5} \geq 50$ $55R \geq 50(R + 0.5)$ $55R \geq 50R + 25$ $5R \geq 25$ $R \geq 5$ **Ответ: 5 Ом** 5. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Пусть $t_1$ — время, которое первый человек идёт до встречи, $t_2$ — время, которое второй человек идёт до опушки и обратно до встречи. Расстояние до опушки 4,4 км. Время, за которое второй человек дойдёт до опушки: $t = \frac{4.4}{3} \approx 1.47$ часа. За это время первый пройдёт $2.5 \cdot \frac{4.4}{3} = \frac{11}{3} \approx 3.67$ км. Оставшееся расстояние между ними $4.4 - \frac{11}{3} = \frac{13.2 - 11}{3} = \frac{2.2}{3} \approx 0.73$ км. Теперь они движутся навстречу друг другу. Скорость сближения $2.5 + 3 = 5.5$ км/ч. Время до встречи: $t = \frac{\frac{2.2}{3}}{5.5} = \frac{2.2}{3 \cdot 5.5} = \frac{2.2}{16.5} = \frac{2}{15} \approx 0.13$ часа. За это время первый пройдёт $2.5 \cdot \frac{2}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0.33$ км. Итого, первый пройдёт $3.67 + 0.33 = 4$ км. **Ответ: 4 км** 6. На рисунке изображены графики функций $f(x) = 5x + 9$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$. **Недостаточно данных для решения.** Нужен график или координаты точек $A$ и $B$. 7. Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{2}{3}x^3 - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$. Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки и проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка. $y' = 2x^2 - 3$ Приравняем производную к нулю: $2x^2 - 3 = 0$ $2x^2 = 3$ $x^2 = \frac{3}{2}$ $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \approx \pm 1.22$ Так как рассматриваем отрезок $[1; 9]$, то берем $x = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.22$. Теперь проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $y(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 3(1) + 1 = \frac{2}{3} - 3 + 1 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2 - 6}{3} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ $y(9) = \frac{2}{3}(9)^3 - 3(9) + 1 = \frac{2}{3}(729) - 27 + 1 = 2 \cdot 243 - 26 = 486 - 26 = 460$ $y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 - 3(\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = -2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \approx -2 \cdot 1.22 + 1 = -2.44 + 1 = -1.44$ Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно $-1.44$. **Ответ: $-1.44$**