Построй график функции и опиши её свойства: y = x² + 2x – 15

Конечно, помогу! **a) $y = x^2 + 2x - 15$** 1. **Определим направление ветвей параболы:** Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. 2. **Найдем координаты вершины параболы:** * Абсцисса вершины ($x_v$) вычисляется по формуле: $x_v = \frac{-b}{2a}$, где $a = 1$ и $b = 2$. $$x_v = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$$ * Ордината вершины ($y_v$) вычисляется путем подстановки $x_v$ в уравнение функции: $$y_v = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16$$ * Итак, вершина параболы имеет координаты $(-1, -16)$. 3. **Найдем точки пересечения с осью $x$ (нули функции):** * Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$. * Используем теорему Виета или дискриминант. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$. * Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$. * Точки пересечения с осью $x$: $(3, 0)$ и $(-5, 0)$. 4. **Найдем точку пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение функции: $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 15 = -15$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, -15)$. :::div .chart-container @chart-1::: **б) $y = 0.5x^2 - 3x + 4$** 1. **Направление ветвей:** * Коэффициент при $x^2$ равен $0.5$ (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх. 2. **Координаты вершины параболы:** * $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 0.5} = \frac{3}{1} = 3$ * $y_v = 0.5 \cdot (3)^2 - 3 \cdot 3 + 4 = 0.5 \cdot 9 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$ * Вершина параболы: $(3, -0.5)$. 3. **Точки пересечения с осью $x$:** * Решим уравнение $0.5x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 6x + 8 = 0$. * Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. * Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2$. * Точки пересечения с осью $x$: $(2, 0)$ и $(4, 0)$. 4. **Точка пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = 0.5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$. :::div .chart-container @chart-2::: **в) $y = 4 - 0.5x^2$** 1. **Направление ветвей:** * Коэффициент при $x^2$ равен $-0.5$ (отрицательное число), следовательно, ветви параболы направлены вниз. 2. **Координаты вершины параболы:** * $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{2 \cdot (-0.5)} = 0$ * $y_v = 4 - 0.5 \cdot 0^2 = 4$ * Вершина параболы: $(0, 4)$. 3. **Точки пересечения с осью $x$:** * Решим уравнение $4 - 0.5x^2 = 0$. $0.5x^2 = 4$, $x^2 = 8$. * Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ и $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2} \approx -2.83$. * Точки пересечения с осью $x$: $(2\sqrt{2}, 0)$ и $(-2\sqrt{2}, 0)$. 4. **Точка пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = 4 - 0.5 \cdot 0^2 = 4$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$. :::div .chart-container @chart-3::: **г) $y = 6x - 2x^2$** 1. **Направление ветвей:** * Коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательное число), следовательно, ветви параболы направлены вниз. 2. **Координаты вершины параболы:** * $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{-6}{-4} = 1.5$ * $y_v = 6 \cdot 1.5 - 2 \cdot (1.5)^2 = 9 - 2 \cdot 2.25 = 9 - 4.5 = 4.5$ * Вершина параболы: $(1.5, 4.5)$. 3. **Точки пересечения с осью $x$:** * Решим уравнение $6x - 2x^2 = 0$. Вынесем $2x$ за скобку: $2x(3 - x) = 0$. * Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. * Точки пересечения с осью $x$: $(0, 0)$ и $(3, 0)$. 4. **Точка пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, 0)$. :::div .chart-container @chart-4::: **д) $y = (2x - 7)(x + 1)$** 1. **Раскроем скобки:** $y = 2x^2 + 2x - 7x - 7 = 2x^2 - 5x - 7$ 2. **Направление ветвей:** * Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх. 3. **Координаты вершины параболы:** * $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$ * $y_v = 2 \cdot (1.25)^2 - 5 \cdot 1.25 - 7 = 2 \cdot 1.5625 - 6.25 - 7 = 3.125 - 6.25 - 7 = -10.125$ * Вершина параболы: $(1.25, -10.125)$. 4. **Точки пересечения с осью $x$:** * Решим уравнение $(2x - 7)(x + 1) = 0$. * Корни уравнения: $x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$ и $x_2 = -1$. * Точки пересечения с осью $x$: $(3.5, 0)$ и $(-1, 0)$. 5. **Точка пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = (2 \cdot 0 - 7)(0 + 1) = -7$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, -7)$. :::div .chart-container @chart-5::: **e) $y = (2 - x)(x + 6)$** 1. **Раскроем скобки:** $y = 2x + 12 - x^2 - 6x = -x^2 - 4x + 12$ 2. **Направление ветвей:** * Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), следовательно, ветви параболы направлены вниз. 3. **Координаты вершины параболы:** * $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$ * $y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$ * Вершина параболы: $(-2, 16)$. 4. **Точки пересечения с осью $x$:** * Решим уравнение $(2 - x)(x + 6) = 0$. * Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$. * Точки пересечения с осью $x$: $(2, 0)$ и $(-6, 0)$. 5. **Точка пересечения с осью $y$:** * Подставим $x = 0$ в уравнение: $y = (2 - 0)(0 + 6) = 12$. * Точка пересечения с осью $y$: $(0, 12)$. :::div .chart-container @chart-6:::