Расположи в порядке возрастания числа $3\sqrt{6}, 2\sqrt{10}, 5\sqrt{2}, 3\sqrt{5}$

Привет! Давай разберем эти задания по порядку. 1. Расположите в порядке возрастания. a) $3\sqrt{6}, 2\sqrt{10}, 5\sqrt{2}, 3\sqrt{5}$ Чтобы сравнить эти числа, нужно внести все множители под знак корня, а затем сравнить подкоренные выражения: $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$ $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$ $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$ $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ Теперь располагаем в порядке возрастания подкоренные выражения: 40, 45, 50, 54. Значит, и исходные числа располагаются так же: **Ответ:** $2\sqrt{10}, 3\sqrt{5}, 5\sqrt{2}, 3\sqrt{6}$ б) $-2\sqrt{50}, -5\sqrt{1\frac{13}{25}}, -10\sqrt{0,7}$ Преобразуем каждое выражение, внося множители под знак корня: $-2\sqrt{50} = -\sqrt{2^2 \cdot 50} = -\sqrt{4 \cdot 50} = -\sqrt{200}$ $-5\sqrt{1\frac{13}{25}} = -5\sqrt{\frac{38}{25}} = -\sqrt{5^2 \cdot \frac{38}{25}} = -\sqrt{25 \cdot \frac{38}{25}} = -\sqrt{38}$ $-10\sqrt{0,7} = -\sqrt{10^2 \cdot 0,7} = -\sqrt{100 \cdot 0,7} = -\sqrt{70}$ Теперь сравним числа. Помни, что отрицательные числа сравниваются в обратном порядке (чем больше модуль, тем меньше число): $-\sqrt{200} < -\sqrt{70} < -\sqrt{38}$ **Ответ:** $-2\sqrt{50}, -10\sqrt{0,7}, -5\sqrt{1\frac{13}{25}}$ 2. Упростите выражение: a) $\sqrt{36b} - \sqrt{16b} + 2\sqrt{b}$ $\sqrt{36b} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{b} = 6\sqrt{b}$ $\sqrt{16b} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{b} = 4\sqrt{b}$ Теперь подставим в исходное выражение: $6\sqrt{b} - 4\sqrt{b} + 2\sqrt{b} = (6 - 4 + 2)\sqrt{b} = 4\sqrt{b}$ **Ответ:** $4\sqrt{b}$ б) $\sqrt{5a} - 3\sqrt{20a} + \sqrt{125a}$ Преобразуем корни: $3\sqrt{20a} = 3\sqrt{4 \cdot 5a} = 3 \cdot 2\sqrt{5a} = 6\sqrt{5a}$ $\sqrt{125a} = \sqrt{25 \cdot 5a} = 5\sqrt{5a}$ Теперь подставим в исходное выражение: $\sqrt{5a} - 6\sqrt{5a} + 5\sqrt{5a} = (1 - 6 + 5)\sqrt{5a} = 0\sqrt{5a} = 0$ **Ответ:** 0 3. Выполните действия: a) $\sqrt{2}(3\sqrt{8} + \sqrt{18})$ $\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{8} = 3\sqrt{2 \cdot 8} = 3\sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$ $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6$ Теперь сложим результаты: $12 + 6 = 18$ **Ответ:** 18 б) $(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5})(4\sqrt{3} + 2\sqrt{5})$ Здесь можно воспользоваться формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$ Теперь вычтем: $48 - 20 = 28$ **Ответ:** 28 в) $\sqrt{3}(4\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) + \sqrt{60}$ $\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ $\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{15}$ $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ Теперь соберем все вместе: $12 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 12$ **Ответ:** 12 г) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{24}$ $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$ $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ Теперь вычтем: $5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5$ **Ответ:** 5 4. Разложите на множители: a) $\sqrt{21} - \sqrt{7}$ $\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$ Теперь вынесем $\sqrt{7}$ за скобки: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)$ **Ответ:** $\sqrt{7}(\sqrt{3} - 1)$ б) $\sqrt{15a} - 3\sqrt{5a}$ $\sqrt{15a} = \sqrt{3 \cdot 5a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5a}$ Теперь вынесем $\sqrt{5a}$ за скобки: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5a} - 3\sqrt{5a} = \sqrt{5a}(\sqrt{3} - 3)$ **Ответ:** $\sqrt{5a}(\sqrt{3} - 3)$ в) $5 + \sqrt{5}$ Вынесем $\sqrt{5}$ за скобки: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$ **Ответ:** $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$ г) $x + 2\sqrt{x}$ Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$: $(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}$ Теперь вынесем $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)$ **Ответ:** $\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)$ 5. Сократите дробь: $\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}$ В числителе вынесем $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$ В знаменателе вынесем $\sqrt{5}$ за скобки: $\sqrt{5} - \sqrt{15} = \sqrt{5}(1 - \sqrt{3})$ Теперь сократим дробь: $\frac{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{15}}{5}$