Построй график функции, найди область определения и нули функции, докажи, что функция убывает/возрастает на промежутке.

1. Постройте график функции: Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x)$, заданной как: $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -1, & \text{если } -2 \le x < 4, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 4. \end{cases}$ Нужно построить график каждой части на соответствующем интервале: * Для $x < -2$, строим график $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола. Например, точки $(-4, -1)$, $(-2.1, -1.90)$. * Для $-2 \le x < 4$, строим график $y = -1$. Это горизонтальная прямая. * Для $x \ge 4$, строим график $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола. Например, точки $(4, 1)$, $(8, 0.5)$. :::div .chart-container @chart-1::: 2. Найдите область определения и постройте график функции: 1) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$. Область определения: $x \neq -3$. После упрощения $f(x) = x - 3$ при $x \neq -3$. График - прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$. :::div .chart-container @chart-2::: 2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)^2}{x - 1}$. Область определения: $x \neq 1$. После упрощения $f(x) = x - 1$ при $x \neq 1$. График - прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(1, 0)$. :::div .chart-container @chart-3::: 3. Найдите нули функции: 1) $f(x) = 0.5x^2 - 3x - 2$. Решаем уравнение $0.5x^2 - 3x - 2 = 0$ или $x^2 - 6x - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(-4) = 36 + 16 = 52$. Корни: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = 3 \pm \sqrt{13}$. 2) $f(x) = \sqrt{x + 2}$. Решаем уравнение $\sqrt{x + 2} = 0$. Тогда $x + 2 = 0$, следовательно, $x = -2$. 3) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x - 1)}{x - 4}$. При $x \neq 4$, $f(x) = x - 1$. Нуль функции: $x = 1$. 4) $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$. Решаем уравнение $\sqrt{25 - x^2} = 0$. Тогда $25 - x^2 = 0$, следовательно, $x = \pm 5$. 5) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$. Решаем уравнение $\sqrt{x^2 + 4} = 0$. Тогда $x^2 + 4 = 0$, что не имеет решений, так как $x^2 + 4 > 0$ для всех $x$. 6) $f(x) = x\sqrt{x - 2}$. Решаем уравнение $x\sqrt{x - 2} = 0$. Тогда либо $x = 0$, либо $\sqrt{x - 2} = 0$, откуда $x = 2$. Но $x=0$ не входит в область определения, так как под корнем должно быть неотрицательное число. Значит, $x=2$ - единственный нуль функции. 4. Докажите, что функция: 1) $f(x) = \frac{7}{x - 5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$. Производная: $f'(x) = -\frac{7}{(x - 5)^2}$. Так как $(x - 5)^2 > 0$ для $x \neq 5$, то $f'(x) < 0$ на $(5; +\infty)$. Следовательно, функция убывает на этом промежутке. 2) $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. Производная: $f'(x) = 2x + 6$. Решаем неравенство $2x + 6 > 0$, откуда $x > -3$. Следовательно, функция возрастает на $(-3; +\infty)$. В точке $x = -3$ производная равна нулю, поэтому функция возрастает на $[-3; +\infty)$.