Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны треугольника равны 6 см и 4 см, а угол между ними 120°.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону треугольника $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где $a = 6$ см, $b = 4$ см, $\gamma = 120^\circ$. $c^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot cos(120^\circ) = 36 + 16 - 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = 52 + 24 = 76$ $c = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$ см. Теперь найдем площадь треугольника $S$: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin(120^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ:** Третья сторона равна $2\sqrt{19}$ см, площадь равна $6\sqrt{3}$ см$^2$. 2. По теореме синусов: $\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)}$, где $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $a = 3\sqrt{2}$ см (сторона против большего угла). Найдем сторону $b$, лежащую против угла $45^\circ$: $b = \frac{a \cdot sin(B)}{sin(A)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot sin(45^\circ)}{sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. **Ответ:** Сторона, лежащая против меньшего угла, равна $2\sqrt{3}$ см. 3. Проверим, какой тип треугольника: $a = 3$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см. Если $a^2 + b^2 > c^2$, то треугольник остроугольный. Если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный. Если $a^2 + b^2 < c^2$, то треугольник тупоугольный. $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$ $10^2 = 100$ Так как $73 < 100$, то $a^2 + b^2 < c^2$, следовательно, треугольник тупоугольный. **Ответ:** Треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая равна $x + 6$. Третья сторона равна 14 см, а угол между сторонами $x$ и $x + 6$ равен $60^\circ$. Применим теорему косинусов: $14^2 = x^2 + (x + 6)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 6) \cdot cos(60^\circ)$ $196 = x^2 + x^2 + 12x + 36 - 2x(x + 6) \cdot \frac{1}{2}$ $196 = 2x^2 + 12x + 36 - x^2 - 6x$ $x^2 + 6x - 160 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676$ $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{676}}{2} = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-6 - 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16$ (не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной) Итак, $x = 10$ см, тогда другая сторона $x + 6 = 16$ см. Периметр треугольника $P = 10 + 16 + 14 = 40$ см. **Ответ:** Периметр треугольника равен 40 см. 5. Используем формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a = 17$ см, $b = 25$ см, $c = 28$ см, а $S$ - площадь треугольника. Сначала найдем площадь $S$ по формуле Герона: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{35(35 - 17)(35 - 25)(35 - 28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$ Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{840} = \frac{11900}{840} = \frac{1190}{84} = \frac{595}{42} = 14.1666... \approx 14.17$ см. **Ответ:** Радиус окружности равен $\frac{595}{42} \approx 14.17$ см. 6. **Допущение:** Медиана проведена к неизвестной стороне. Пусть $a = 7$ см, $b = 9$ см, $m = 4$ см (медиана). Используем формулу медианы: $m^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$ $4^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - c^2}{4}$ $16 = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - c^2}{4}$ $64 = 98 + 162 - c^2$ $c^2 = 260 - 64 = 196$ $c = \sqrt{196} = 14$ см. **Ответ:** Неизвестная сторона равна 14 см.