Найди меньший угол параллелограмма, если диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°.

1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 40^\circ$. Получаем уравнение: $x + x + 40^\circ = 180^\circ$. Решаем его: $$2x = 140^\circ$$ $$x = 70^\circ$$ **Ответ: 70** 2. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $2x$. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, составим уравнение: $x + 2x = 180^\circ$. Отсюда $3x = 180^\circ$, значит, $x = 60^\circ$. **Ответ: 60** 3. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle DAC + \angle CAB = \angle DAB = 47^\circ + 11^\circ = 58^\circ$. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, $\angle BCD = \angle DAB = 58^\circ$. Сумма углов параллелограмма равна $360^\circ$, значит, $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$, отсюда $\angle ABC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$. Больший угол параллелограмма $122^\circ$. **Ответ: 122** 4. $\angle CDE$ и $\angle DEC$ равны, значит, $\triangle CDE$ - равнобедренный, и $CD = DE$. По условию $DC = DE$, то есть $AD = DE = DC$. $\angle DEC = 53^\circ$. $\angle CDE = \angle DCE = (180^\circ - 53^\circ) / 2 = 63.5^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - 63.5^\circ = 116.5^\circ$. **Ответ: 116,5** 5. В параллелограмме, в который вписана окружность, все стороны равны. Если одна из сторон равна 6, то и все остальные стороны равны 6. Периметр равен сумме всех сторон. $P = 6 + 6 + 6 + 6 = 24$. **Ответ: 24** 6. Биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $15^\circ$. Так как биссектриса делит угол пополам, то $\angle BAC = 2 * 15^\circ = 30^\circ$. Углы $BAC$ и $BCA$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Значит, $\angle BCA = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, $\angle ABC = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. $\angle BAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Острый угол параллелограмма равен $60^\circ$. **Ответ: 60**