Докажи, что если векторы a и b не коллинеарны, то векторы a+b и a-b не коллинеарны.

1001. Докажите, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то: а) Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны. Предположим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$ $\vec{a}(1-k) + \vec{b}(1+k) = 0$ Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то $1-k = 0$ и $1+k = 0$. Из этого следует, что $k = 1$ и $k = -1$, что невозможно. Значит, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны. б) Векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны. Предположим, что векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$. $2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$ $\vec{a}(2-k) + \vec{b}(-1-k) = 0$ Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то $2-k = 0$ и $-1-k = 0$. Из этого следует, что $k = 2$ и $k = -1$, что невозможно. Значит, векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны. в) Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны. Предположим, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ коллинеарны. Тогда существует такое число $k$, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$. $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$ $\vec{a}(1-k) + \vec{b}(1-3k) = 0$ Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то $1-k = 0$ и $1-3k = 0$. Из этого следует, что $k = 1$ и $k = \frac{1}{3}$, что невозможно. Значит, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.