Найди стороны параллелограмма, если его периметр равен 36, а биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC.

Пусть $AB = CD = x$, а $BC = AD = y$. Так как биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$, то $\angle BAM = \angle MAD$ и $\angle ADM = \angle MDC$. Поскольку $AM$ и $DM$ – биссектрисы, то $\angle BAM = \angle MAD$ и $\angle ADM = \angle MDC$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle MAD = \angle AMB$ (как накрест лежащие углы). Следовательно, $\angle BAM = \angle AMB$, а значит, треугольник $ABM$ – равнобедренный, и $AB = BM = x$. Аналогично, $\angle ADM = \angle DMC$, следовательно, $\angle MDC = \angle DMC$, а значит, треугольник $CDM$ – равнобедренный, и $CD = MC = x$. Тогда $BC = BM + MC = x + x = 2x$. Следовательно, $y = 2x$. Периметр параллелограмма $P = 2(x + y) = 36$. Подставим $y = 2x$ в уравнение периметра: $2(x + 2x) = 36$ $2(3x) = 36$ $6x = 36$ $x = 6$ Тогда $y = 2x = 2 \cdot 6 = 12$. **Ответ:** $AB = CD = 6$, $BC = AD = 12$.