Реши задачи 75-81 по геометрии.

75. Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то каждая пара точек определяет уникальную прямую. У нас есть 4 точки, и нам нужно посчитать количество способов выбрать 2 точки из 4. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ - общее количество элементов, $k$ - количество элементов для выбора. В нашем случае $n = 4$, $k = 2$. Так что $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$. **Ответ: 6 прямых** 76. Четыре прямые, каждая пересекается с каждой, и через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Первая прямая пересекает три другие в трех точках. Вторая прямая пересекает две другие (кроме первой) в двух точках. Третья прямая пересекает одну оставшуюся в одной точке. Четвертая прямая уже пересеклась со всеми. Суммируем количество точек: $3 + 2 + 1 = 6$. **Ответ: 6 точек пересечения** 77. Когда три прямые проходят через одну точку, образуется 6 неразвернутых углов (меньше 180 градусов). **Ответ: 6 углов** 78. Пусть $NP = x$. Тогда $MN = 2x$. Из условия $MP = MN + NP = 24$ см, получаем $2x + x = 24$, откуда $3x = 24$ и $x = 8$ см. а) $NP = x = 8$ см б) $MN = 2x = 2 \cdot 8 = 16$ см **Ответ:** а) **8 см** б) **16 см** 79. Здесь возможны два случая: 1) Точки расположены в порядке K-L-M. Тогда $KM = KL + LM = 6 + 10 = 16$ см. 2) Точки расположены в порядке K-M-L. Тогда $KM = LM - KL = 10 - 6 = 4$ см. **Ответ:** **16 см или 4 см** 80. Пусть $PQ = x$. Тогда $AP = 2x$ и $QB = \frac{x}{2}$. Длина всего отрезка $AB = AP + PQ + QB = 2x + x + \frac{x}{2} = 3.5x$. Значит, $AB = a = 3.5x$, откуда $x = \frac{a}{3.5} = \frac{2a}{7}$. а) Середина $QB$ находится на расстоянии $\frac{QB}{2} = \frac{x}{4} = \frac{2a}{7 \cdot 4} = \frac{a}{14}$ от точки $Q$. Расстояние от $A$ до середины $QB$ равно $AP + PQ + \frac{QB}{2} = 2x + x + \frac{x}{4} = 3.25x = \frac{13}{4} \cdot \frac{2a}{7} = \frac{13a}{14}$. б) Середина $AP$ находится на расстоянии $\frac{AP}{2} = x = \frac{2a}{7}$ от точки $A$. Середина $QB$ находится на расстоянии $\frac{QB}{2} = \frac{x}{4} = \frac{a}{14}$ от точки $B$. Расстояние между серединами $AP$ и $QB$ равно $AB - \frac{AP}{2} - \frac{QB}{2} = a - x - \frac{x}{4} = a - \frac{2a}{7} - \frac{2a}{28} = a - \frac{8a}{28} - \frac{2a}{28} = a - \frac{10a}{28} = \frac{18a}{28} = \frac{9a}{14}$. **Ответ:** а) $\frac{13a}{14}$ б) $\frac{9a}{14}$ 81. Допущение: Отрезок длины $m$ разделен на три равные части. а) Длина каждой части равна $\frac{m}{3}$. **Ответ:** а) $\frac{m}{3}$