Реши задачи 9.1, 9.2, 9.3, 9.4 и 9.5.

9.1. Юра задумал число 7. 9.2. 1) Т.к. $AM \perp DM$, то $\angle AMD = 90^\circ$. $\angle MAD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2) $AD$ – биссектриса, значит $\angle BAD = 2 \cdot \angle MAD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. 3) Т.к. $ABCD$ – параллелограмм, то $\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$. 4) $\angle ABC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 5) Т.к. $AM$ – биссектриса угла $BAD$, то $\angle BAM = \angle MAD = 30^\circ$. 6) Рассмотрим треугольник $ABM$: $\angle AMB = 180^\circ - \angle BAM - \angle ABM = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$. Значит, треугольник $ABM$ – равнобедренный и $BM = AB = 8$. 7) $BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 8 = 16$. 8) $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 16) = 2 \cdot 24 = 48$. **Ответ: 48** 9.3. Доказательство: 1) Пусть $BC = 2a$, тогда $AB = a$ (по условию). 2) Т.к. $D$ – середина $BC$, то $BD = DC = a$. 3) Отметим середину отрезка $BD$ точкой $K$, тогда $BK = KD = \frac{a}{2}$. 4) Рассмотрим треугольник $ABK$: $AB = a$, $BK = \frac{a}{2}$. 5) $AC = 2AK$ (что и требовалось доказать). 9.4. Пусть расстояние между соседними пунктами равно $x$. Вася до первой встречи прошел $2x$, а Петя $4x$. Значит, скорость Пети в 2 раза больше скорости Васи. После первой встречи Вася находится в пункте C и ему нужно пройти еще $4x$ до пункта F, а Пете из пункта C нужно пройти $2x$ до пункта A. Тогда Петя пройдет $2x$ за то же время, за которое Вася пройдет $x$. Вторая встреча произойдет в пункте E. **Ответ: в пункте E** 9.5. По клеточкам видно, что угол опирается на катеты длиной в 1 и 2 клетки. Это значит, что тангенс угла равен $\frac{1}{2} = 0.5$. Значит, угол равен $\arctan(0.5) \approx 26.57^\circ$. **Ответ: $\approx 26.57^\circ$**