Реши задачи по геометрии из варианта 11

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Больший острый угол лежит напротив большего катета. Значит, тангенс большего острого угла равен отношению большего катета (12 м) к меньшему (5 м). $$tg = \frac{12}{5} = 2,4$$ 2. В прямоугольном треугольнике косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Сначала найдем гипотенузу: $\sqrt{10^2 + 8^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 64 + 36} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$. Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета (6 дм). Значит, прилежащий катет к меньшему острому углу - 8 дм. Тогда косинус меньшего острого угла равен отношению прилежащего катета (8 дм) к гипотенузе ($10\sqrt{2}$ дм). $$cos = \frac{8}{10\sqrt{2}} = \frac{4}{5\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$$ 3. В прямоугольном треугольнике напротив угла в $45^\circ$ лежит катет, равный 8 см. В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ катеты равны. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$ 4. Косинус острого угла не может быть больше 1, так как это отношение прилежащего катета к гипотенузе, а гипотенуза всегда больше катета. Значит, ученик ошибся. 5. Зная, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем синус угла: $$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{576}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 576}{625}} = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}$$ 6. Тангенс угла – это отношение синуса к косинусу. Сначала найдем синус угла, зная, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$: $$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{576}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 576}{625}} = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}$$ Теперь найдем тангенс: $$tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{7}{24}$$ **Ответы:** 1. $\frac{12}{5} = 2,4$ 2. $\frac{2\sqrt{2}}{5}$ 3. $8\sqrt{2}$ см 4. Нет, не верны 5. $\frac{7}{25}$ 6. $\frac{7}{24}$