Докажи тождество \frac{b}{b-a} + \frac{a^2-b^2}{ab+a^2} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2} = -\frac{b}{a}.

Чтобы доказать тождество $\frac{b}{b-a} + \frac{a^2-b^2}{ab+a^2} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2} = -\frac{b}{a}$, упростим левую часть: 1. Разложим на множители $a^2 - b^2$ и $ab + a^2$: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$ab + a^2 = a(b + a)$$ 2. Подставим разложения в исходное выражение: $$\frac{b}{b-a} + \frac{(a-b)(a+b)}{a(b+a)} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2}$$ 3. Сократим $(a+b)$: $$\frac{b}{b-a} + \frac{(a-b)}{a} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2}$$ 4. Сократим $(a-b)$ и $(b-a)^2$, учитывая, что $(a-b) = -(b-a)$: $$\frac{b}{b-a} - \frac{b^2}{a(b-a)}$$ 5. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{ab}{a(b-a)} - \frac{b^2}{a(b-a)}$$ 6. Объединим дроби: $$\frac{ab - b^2}{a(b-a)}$$ 7. Вынесем $b$ в числителе: $$\frac{b(a - b)}{a(b-a)}$$ 8. Сократим $(a-b)$ и $(b-a)$, учитывая, что $(a-b) = -(b-a)$: $$-\frac{b}{a}$$ Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой части, и тождество доказано. **Ответ**: Тождество доказано.