Развернуто ответь на вопросы и реши задачи: найди признаки делимости на 2 и 9, определи взаимно-простые числа, разложи числа на простые множители, докажи, что числа 8 и 15 являются взаимно-простыми, найди НОД и НОК для заданных чисел, реши задачи используя НОД или НОК.

1. Признак делимости на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8). 2. Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. 3. Взаимно-простые числа — это числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. 4. Разложение числа 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3$ 5. Разложение числа 126 на простые множители: $126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ 6. Числа 8 и 15 являются взаимно-простыми, так как их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Единственный общий делитель — 1. 7. НОД(15, 25) = 5. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Делители числа 25: 1, 5, 25. Наибольший общий делитель — 5. 8. НОД(12, 18) = 6. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Наибольший общий делитель — 6. 9. НОК(6, 8) = 24. Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, ... Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, ... Наименьшее общее кратное — 24. 10. НОК(12, 15) = 60. Кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, ... Кратные числа 15: 15, 30, 45, 60, ... Наименьшее общее кратное — 60. 11. Чтобы найти количество банок, нужно найти НОД(60, 144). Разложим числа на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $144 = 2^4 \cdot 3^2$. НОД(60, 144) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. Значит, в каждой банке 12 фруктов (12 яблок или 12 слив). Количество банок: $60/12 + 144/12 = 5 + 12 = 17$ банок. 12. Чтобы узнать, через сколько дней Света и Петя снова будут делать зарядку вместе, нужно найти НОК(4, 6). Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, ... Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, ... НОК(4, 6) = 12. Значит, они снова будут делать зарядку вместе через 12 дней.