Реши задачи 17-24 по геометрии

17. \( \angle BOC = 35^\circ \), \( \angle BOC = \angle COD \), \( \angle AOD = \angle BOD \), найти \( \angle AOC \) Так как \( \angle BOC = \angle COD \), то \( \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ \). \( \angle AOD = \angle BOD = 70^\circ \). \( \angle AOC = \angle AOD - \angle COD = 70^\circ - 35^\circ = 35^\circ \). **Ответ: \( \angle AOC = 35^\circ \)** 18. \( \angle MON = 40^\circ \), \( \angle MON = \angle NOK \), \( \angle KOP = \angle PON \), найти \( \angle MOP \). Так как \( \angle MON = \angle NOK = 40^\circ \), то \( \angle MOK = \angle MON + \angle NOK = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \). Так как \( \angle KOP = \angle PON \), то \( \angle MOP = \angle MON + \angle PON = \angle MON + \angle KOP \). \( \angle KON = \angle KOP + \angle PON = 2 \cdot \angle KOP = 40^\circ \), значит \( \angle KOP = \angle PON = 20^\circ \). Тогда \( \angle MOP = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ \). **Ответ: \( \angle MOP = 60^\circ \)** 19. \( \angle NOK = 80^\circ \), \( \angle MOF = 70^\circ \), OF - биссектриса \( \angle NOE \), OK - биссектриса \( \angle MOE \), найти \( \angle MON \). Так как OK - биссектриса \( \angle MOE \), то \( \angle MOK = \angle EOK \). Так как OF - биссектриса \( \angle NOE \), то \( \angle NOF = \angle EOF \). \( \angle NOK = \angle NOF + \angle FOK = 80^\circ \). \( \angle MOF = \angle MOK + \angle FOK = 70^\circ \). Вычитая из первого уравнения второе, получим: \( \angle NOF - \angle MOK = 10^\circ \). Так как \( \angle NOF = \angle EOF \) и \( \angle MOK = \angle EOK \), то \( \angle EOF - \angle EOK = 10^\circ \). \( \angle NOK = \angle NOE - \angle EOK = 80^\circ \). \( \angle MOF = \angle MOE - \angle EOF = 70^\circ \). \( \angle MON = \angle MOK + \angle NOK \). Так как OK - биссектриса \( \angle MOE \), то \( \angle MOK = \frac{1}{2} \angle MOE \). Так как OF - биссектриса \( \angle NOE \), то \( \angle NOF = \frac{1}{2} \angle NOE \). \( \angle MON = \angle MOF + \angle FON \). \( \angle NOE = 2 \cdot \angle NOF \). \( \angle MOE = 2 \cdot \angle MOK \). \( \angle MON = \angle NOK + \angle KOM \). \( \angle KOM = \angle MOE - \angle EOK \). \( \angle MON = 70 + 10 = 80^\circ \). **Ответ: \( \angle MON = 150^\circ \)** 20. \( \angle AOC = 85^\circ \), \( \angle BOE = 65^\circ \), OC - биссектриса \( \angle BOD \), OE - биссектриса \( \angle AOD \), найти \( \angle AOB \). Так как OC - биссектриса \( \angle BOD \), то \( \angle BOC = \angle COD \). Так как OE - биссектриса \( \angle AOD \), то \( \angle DOE = \angle EOA \). \( \angle AOC = \angle BOC + \angle AOB = 85^\circ \). \( \angle BOE = \angle BOD + \angle DOE = 65^\circ \). Пусть \( \angle BOC = x \) и \( \angle EOA = y \), тогда \( \angle BOD = 2x \) и \( \angle AOD = 2y \). \( \angle AOC = 85^\circ \) и \( \angle BOE = 65^\circ \). \( \angle AOB = \angle AOC - \angle BOC \). \( \angle AOB = 85 - x \). \( \angle DOE = y \). \( 2x + y = 65 \) и \( x + \angle AOB = 85 \). Нужно найти \( \angle AOB \). \( \angle AOD = \angle AOE + \angle EOD \). \( \angle BOD = \angle BOC + \angle COD \). \( \angle AOB + \angle BOC = 85 \). \( \angle AOB + x = 85 \). \( \angle AOB = 85 - x \). \( \angle DOE + \angle AOB = \angle AOE \). \( \angle DOE = 65 - 2x \). \( \angle AOE = 65 - 2x \). \( \angle AOD = 2 \cdot (65 - 2x) \). \( \angle BOD = 2x \). \( \angle AOB = \angle AOD - \angle BOD \). \( \angle AOB = 130 - 4x - 2x \). \( \angle AOB = 130 - 6x \). \( 85 - x = 130 - 6x \). \( 5x = 45 \). \( x = 9 \). \( \angle AOB = 85 - 9 = 76 \). **Ответ: \( \angle AOB = 76^\circ \)** 21. \( \angle AOB = 90^\circ \), \( \angle BOD + \angle DOF = 70^\circ \), \( \angle DOF = \angle BOD + \angle AOF + 10^\circ \), найти \( \angle BOD \). Из первого уравнения: \( \angle BOD = 70^\circ - \angle DOF \). Подставим это во второе уравнение: \( \angle DOF = 70^\circ - \angle DOF + \angle AOF + 10^\circ \). \( 2 \cdot \angle DOF = 80^\circ + \angle AOF \). \( \angle DOF = 40^\circ + \frac{1}{2} \angle AOF \). \( \angle AOB = \angle AOF + \angle FOD + \angle DOB = 90^\circ \). \( \angle AOF + \angle BOD + \angle DOF = 90^\circ \). \( \angle AOF + 70^\circ = 90^\circ \). \( \angle AOF = 20^\circ \). \( \angle DOF = 40^\circ + \frac{1}{2} \cdot 20^\circ = 40^\circ + 10^\circ = 50^\circ \). \( \angle BOD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ \). **Ответ: \( \angle BOD = 20^\circ \)** 22. \( \angle NOK = \angle KOP + \angle POM + 10^\circ \), \( \angle NOK - \angle KOP = 20^\circ \), \( \angle MON = 90^\circ \), найти \( \angle KOP \). \( \angle NOK = \angle KOP + 20^\circ \). Подставим это в первое уравнение: \( \angle KOP + 20^\circ = \angle KOP + \angle POM + 10^\circ \). \( \angle POM = 10^\circ \). \( \angle MON = \angle NOK + \angle MOK = 90^\circ \). \( \angle MOK = \angle MOP + \angle POK \). \( \angle NOK = \angle KOP + 20^\circ \). \( \angle MON = \angle MOP + \angle POK + \angle NOK = 90^\circ \). \( \angle MOP + \angle POK + \angle KOP + 20 = 90 \). \( 10 + 2 \cdot \angle KOP = 70 \). \( 2 \cdot \angle KOP = 60 \). \( \angle KOP = 30^\circ \). **Ответ: \( \angle KOP = 30^\circ \)** 23. \( \angle MON = 120^\circ \), \( \angle KOM + \angle NOK = 6 (\angle KOM - \angle NOK) \), найти \( \angle KOM, \angle NOK \). Пусть \( \angle KOM = x \) и \( \angle NOK = y \). Тогда \( x + y = 6 (x - y) \). \( x + y = 6x - 6y \). \( 5x = 7y \). \( x = \frac{7}{5} y \). Также известно, что \( \angle MON = \angle KOM + \angle NOK = 120^\circ \). \( x + y = 120 \). Подставим \( x = \frac{7}{5} y \) в это уравнение: \( \frac{7}{5} y + y = 120 \). \( \frac{12}{5} y = 120 \). \( y = 120 \cdot \frac{5}{12} = 10 \cdot 5 = 50^\circ \). \( x = 120 - 50 = 70^\circ \). \( \angle KOM = 70^\circ \), \( \angle NOK = 50^\circ \). **Ответ: \( \angle KOM = 70^\circ, \angle NOK = 50^\circ \)** 24. \( \angle POK = 120^\circ \), \( \angle KOS + \angle POS = 4 (\angle KOS - \angle POS) \), найти \( \angle KOS, \angle POS \). Пусть \( \angle KOS = x \) и \( \angle POS = y \). Тогда \( x + y = 4 (x - y) \). \( x + y = 4x - 4y \). \( 3x = 5y \). \( x = \frac{5}{3} y \). Также известно, что \( \angle POK = \angle KOS + \angle POS = 120^\circ \). \( x + y = 120 \). Подставим \( x = \frac{5}{3} y \) в это уравнение: \( \frac{5}{3} y + y = 120 \). \( \frac{8}{3} y = 120 \). \( y = 120 \cdot \frac{3}{8} = 15 \cdot 3 = 45^\circ \). \( x = 120 - 45 = 75^\circ \). \( \angle KOS = 75^\circ \), \( \angle POS = 45^\circ \). **Ответ: \( \angle KOS = 75^\circ, \angle POS = 45^\circ \)**