Реши задачи 98-102 по геометрии.

98. Отрезки $AE$ и $DC$ пересекаются в точке $B$, являющейся серединой каждого из них. a) Докажем, что треугольники $ABC$ и $EBD$ равны. $AB = EB$ (так как $B$ - середина $AE$) $CB = DB$ (так как $B$ - середина $DC$) $\angle ABC = \angle EBD$ (как вертикальные) Следовательно, $\triangle ABC = \triangle EBD$ по двум сторонам и углу между ними. b) Найдем углы $A$ и $C$ треугольника $ABC$, если в треугольнике $BDE$ $\angle D = 47^\circ$, $\angle E = 42^\circ$. $\angle B = 180^\circ - (47^\circ + 42^\circ) = 91^\circ$ Так как $\triangle ABC = \triangle EBD$, то $\angle A = \angle E = 42^\circ$ и $\angle C = \angle D = 47^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 47^\circ$. 99. На рисунке 58 $AB = AC$, $\angle 1 = \angle 2$. a) Докажем, что треугольники $ABD$ и $ACD$ равны. $AB = AC$ (по условию) $\angle 1 = \angle 2$ (по условию) $AD$ - общая сторона. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle ACD$ по двум сторонам и углу между ними. b) Найдем $BD$ и $AB$, если $AC = 15$ см, $DC = 5$ см. Так как $\triangle ABD = \triangle ACD$, то $AB = AC = 15$ см и $BD = DC = 5$ см. **Ответ:** $AB = 15$ см, $BD = 5$ см. 100. На рисунке 59 $BC = AD$, $\angle 1 = \angle 2$. a) Докажем, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны. $BC = AD$ (по условию) $\angle 1 = \angle 2$ (по условию) $AC$ - общая сторона. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по двум сторонам и углу между ними. b) Найдем $AB$ и $BC$, если $AD = 17$ см, $DC = 14$ см. Так как $\triangle ABC = \triangle CDA$, то $AB = DC = 14$ см и $BC = AD = 17$ см. **Ответ:** $AB = 14$ см, $BC = 17$ см. 101. На рисунке 60 $OA = OD$, $OB = OC$, $\angle 1 = 74^\circ$, $\angle 2 = 36^\circ$. a) Докажем, что треугольники $AOB$ и $DOC$ равны. $OA = OD$ (по условию) $OB = OC$ (по условию) $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные) Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по двум сторонам и углу между ними. b) Найдем угол $ACD$. Так как $\triangle AOB = \triangle DOC$, то $\angle OAB = \angle ODC$. Обозначим этот угол как $x$. В треугольнике $AOB$: $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$, то есть $x + 74^\circ + 36^\circ = 180^\circ$, откуда $x = 70^\circ$. В треугольнике $ACD$: $\angle CAD = x = 70^\circ$, $\angle ADC = 36^\circ$, следовательно, $\angle ACD = 180^\circ - (70^\circ + 36^\circ) = 74^\circ$. **Ответ:** $\angle ACD = 74^\circ$. 102. Отрезки $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$. Пусть $O$ - точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$. Тогда $AO = OC$ и $BO = OD$ (по условию). $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по двум сторонам и углу между ними. Аналогично, $\triangle BOC = \triangle DOA$. Тогда $AB = CD$ и $BC = DA$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по трем сторонам.