Разложи число 1176 на простые множители.

1. Разложи число 1176 на простые множители: $1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7^2$ 2. Найди наибольший общий делитель чисел: а) 27 и 36: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$ $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$ Общие простые множители: $3^2$ НОД (27, 36) = $3^2 = 9$ б) 168 и 252: $168 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$ $252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$ Общие простые множители: $2^2, 3, 7$ НОД (168, 252) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ 3. Найди наименьшее общее кратное чисел: а) 16 и 32: $16 = 2^4$ $32 = 2^5$ НОК (16, 32) = $2^5 = 32$ б) 15 и 8: $15 = 3 \cdot 5$ $8 = 2^3$ НОК (15, 8) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ в) 16 и 12: $16 = 2^4$ $12 = 2^2 \cdot 3$ НОК (16, 12) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$ 4. Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби: а) $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{6}$: НОЗ (9, 6) = 18 $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}$ $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$ б) $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{18}$: НОЗ (9, 18) = 18 $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$ $\frac{5}{18}$ (остаётся без изменений) в) $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{8}$: НОЗ (5, 8) = 40 $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{32}{40}$ $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$ 5. Докажи, что числа 308 и 585 – взаимно простые. $308 = 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 11 = 2^2 \cdot 7 \cdot 11$ $585 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$ У чисел 308 и 585 нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 2 00* поставьте цифру так, чтобы полученное число а) делилось на 6; б) делилось на 3; в) было кратно 10 (рассмотрите все возможные случаи). а) Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3. Значит, оно должно быть чётным и сумма цифр должна делиться на 3. Возможные варианты: 2004 (2+0+0+4=6, делится на 3) и 2000, 2006, 2008 не подходят б) Чтобы число делилось на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Возможные варианты: 2001 (2+0+0+1=3), 2004 (2+0+0+4=6), 2007 (2+0+0+7=9) в) Чтобы число было кратно 10, оно должно заканчиваться на 0. Значит, подходит только 2000. 7. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел, если их произведение равно 67 200, а их наибольший общий делитель равен 40. Пусть числа $a$ и $b$. Известно, что $a \cdot b = 67200$ и НОД$(a, b) = 40$. Мы знаем, что $a \cdot b =$ НОК$(a, b) \cdot$ НОД$(a, b)$. Тогда НОК$(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)} = \frac{67200}{40} = 1680$.