Разложи число 1890 на простые множители.

1. Разложи число 1890 на простые множители: $1890 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ 2. Найди наибольший общий делитель чисел: a) 32 и 56: $32 = 2^5$ $56 = 2^3 \cdot 7$ НОД(32, 56) = $2^3 = 8$ б) 378 и 450: $378 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$ $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ НОД(378, 450) = $2 \cdot 3^2 = 18$ 3. Найди наименьшее общее кратное чисел: a) 18 и 36: $18 = 2 \cdot 3^2$ $36 = 2^2 \cdot 3^2$ НОК(18, 36) = $2^2 \cdot 3^2 = 36$ б) 12 и 35: $12 = 2^2 \cdot 3$ $35 = 5 \cdot 7$ НОК(12, 35) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$ в) 16 и 24: $16 = 2^4$ $24 = 2^3 \cdot 3$ НОК(16, 24) = $2^4 \cdot 3 = 48$ 4. Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби: a) $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{8}$: НОЗ(12, 8) = 24 $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$ $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$ б) $\frac{3}{26}$ и $\frac{9}{13}$: НОЗ(26, 13) = 26 $\frac{3}{26} = \frac{3}{26}$ $\frac{9}{13} = \frac{9 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{18}{26}$ в) $\frac{5}{8}$ и $\frac{6}{7}$: НОЗ(8, 7) = 56 $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$ $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{48}{56}$ 5. Докажи, что числа 272 и 1365 - взаимно простые. $272 = 2^4 \cdot 17$ $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ Так как у чисел 272 и 1365 нет общих делителей, кроме 1, то они взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 143* поставьте цифру так, чтобы полученное число: a) делилось на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3. $1 + 4 + 3 + x = 8 + x$. Подходят цифры: 1, 4, 7. б) делилось на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 9. $1 + 4 + 3 + x = 8 + x$. Подходит цифра: 1. в) было кратно 5 (рассмотрите все возможные случаи): Число должно заканчиваться на 0 или 5. Подходят цифры: 0, 5. 7. Найдите наибольший общий делитель двух чисел, если их произведение равно 82800, а их наименьшее общее кратное равно 1380. Пусть $a$ и $b$ - эти числа. Известно, что $a \cdot b = 82800$ и НОК$(a, b) = 1380$. Также известно, что $a \cdot b =$ НОД$(a, b) \cdot$ НОК$(a, b)$. Тогда НОД$(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОК}(a, b)} = \frac{82800}{1380} = 60$. **Ответы:** 1. $1890 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$ 2. a) 8, б) 18 3. a) 36, б) 420, в) 48 4. a) $\frac{10}{24}$ и $\frac{21}{24}$, б) $\frac{3}{26}$ и $\frac{18}{26}$, в) $\frac{35}{56}$ и $\frac{48}{56}$ 5. Числа взаимно простые. 6. a) 1, 4, 7; б) 1; в) 0, 5 7. 60