Реши задачи 271-276 по геометрии.

271. Пусть $x$ — длина перпендикуляра, $y$ — длина наклонной. Тогда у нас есть система уравнений: $\begin{cases} x + y = 17 \\ y - x = 1 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = 18$ $y = 9$ Тогда $x = 17 - y = 17 - 9 = 8$. **Ответ: расстояние от точки до прямой равно 8 см.** 272. В равностороннем треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Пусть сторона треугольника равна $a$. Тогда расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ (высота в треугольнике $ADC$) составляет половину высоты всего треугольника, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6$. Отсюда $\frac{a\sqrt{3}}{4} = 6$, значит $a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$. Расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ — это высота равностороннего треугольника, то есть $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$. **Ответ: расстояние от вершины A до прямой BC равно 12 см.** 273. Пусть $CE$ — гипотенуза, $CD$ — катет. Тогда: $\begin{cases} CE + CD = 31 \\ CE - CD = 3 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2CE = 34$ $CE = 17$ Тогда $CD = 31 - CE = 31 - 17 = 14$. По теореме Пифагора, $DE = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 14^2} = \sqrt{289 - 196} = \sqrt{93}$. **Ответ: расстояние от вершины $C$ до прямой $DE$ равно $\sqrt{93}$ см.** 274. Докажем, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон. Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$, $O$ — середина $AB$. Нужно доказать, что расстояние от $O$ до $AC$ равно расстоянию от $O$ до $BC$. Проведём перпендикуляры $OX$ к $AC$ и $OY$ к $BC$. Рассмотрим треугольники $AOX$ и $BOY$. $AO = OB$ (так как $O$ — середина $AB$). Углы $OAX$ и $OBY$ равны, так как $ABC$ — равнобедренный. Значит, треугольники $AOX$ и $BOY$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $OX = OY$, что и требовалось доказать. 275. Докажем, что $CM$ — высота треугольника $ABC$, если точка $M$ на основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ равноудалена от боковых сторон. Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$, $M$ — точка на $AB$, такая что расстояние от $M$ до $AC$ равно расстоянию от $M$ до $BC$. Нужно доказать, что $CM$ — высота треугольника $ABC$. Проведём перпендикуляры $MX$ к $AC$ и $MY$ к $BC$. По условию, $MX = MY$. Рассмотрим треугольники $CMX$ и $CMY$. У них $CM$ — общая сторона, $MX = MY$. Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы $MCX$ и $MCY$ равны. Значит, $CM$ — биссектриса угла $C$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, биссектриса, проведённая к основанию, является и высотой. Следовательно, $CM$ — высота треугольника $ABC$, что и требовалось доказать. 276. Докажем, что концы отрезка равноудалены от прямой, проведённой через середину этого отрезка. Пусть $AB$ — отрезок, $O$ — его середина, $l$ — прямая, проходящая через $O$. Нужно доказать, что расстояние от $A$ до $l$ равно расстоянию от $B$ до $l$. Проведём перпендикуляры $AX$ и $BY$ к прямой $l$. Рассмотрим треугольники $AOX$ и $BOY$. У них $AO = OB$ (так как $O$ — середина $AB$), углы $AOX$ и $BOY$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $AOX$ и $BOY$ равны по катету и острому углу. Следовательно, $AX = BY$, что и требовалось доказать.