Ответь на вопросы по геометрии: 1. Любой ромб является... 2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм... 3. Прямоугольник - это четырехугольник, в котором... 4. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол ANB, если ∠AMC = 120°. 5. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата.

1. в) параллелограммом. Любой ромб является параллелограммом, потому что у него противоположные стороны параллельны. 2. а) ромб. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом, так как это одно из свойств ромба. 3. а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны. Это определение прямоугольника. 4. **Допущение:** Точка пересечения биссектрисы угла $BAC$ со стороной $BC$ – это точка $M$, а точка пересечения биссектрисы угла $BAC$ с диагональю $BD$ – это точка $N$. В ромбе $ABCD$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ и диагональ $BD$ в точке $N$. Дано, что $\angle AMC = 120^\circ$. Нужно найти $\angle ANB$. $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAM$ $\angle BCA = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA$ Т.к. $ABCD$ ромб, то $BA = BC$, то $\triangle ABC$ - равнобедренный, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA = 60^\circ$. $\angle BAM = \frac{1}{2} \cdot \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$ $\angle ABN = \frac{1}{2} \cdot \angle ABC$. Т.к. диагональ ромба является биссектрисой его угла, а углы ромба, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют $180^\circ$, то $\angle ABC = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $\angle ABN = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$ $\angle ANB = 180^\circ - \angle BAM - \angle ABN = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$ **Ответ: $\angle ANB = 90^\circ$** 5. **Доказательство:** Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Проведём через точку $O$ две взаимно перпендикулярные прямые, которые пересекают стороны квадрата в точках $P, Q, R, S$. Нужно доказать, что $PQRS$ — квадрат. Т.к. диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, то $\angle OAP = \angle OBQ = 45^\circ$. Т.к. прямые $PR$ и $QS$ перпендикулярны, то $\angle POQ = 90^\circ$. $\angle AOP + \angle POB = 90^\circ$ $\angle BOQ + \angle POB = 90^\circ$ Следовательно, $\angle AOP = \angle BOQ$. Рассмотрим $\triangle AOP$ и $\triangle BOQ$: $\angle OAP = \angle OBQ = 45^\circ$ $AO = BO$ (т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам) $\angle AOP = \angle BOQ$ (доказано выше) Следовательно, $\triangle AOP = \triangle BOQ$ по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует, что $AP = BQ$. Т.к. квадрат симметричен относительно своих диагоналей, то $AP = BQ = CR = DS$. Т.к. $ABCD$ - квадрат, то $AB = BC = CD = DA$. Следовательно, $PB = QC = RD = SA$. Рассмотрим $\triangle APS$ и $\triangle BPQ$: $AP = BQ$ (доказано выше) $AS = BP$ (доказано выше) $\angle A = \angle B = 90^\circ$ (т.к. $ABCD$ - квадрат) Следовательно, $\triangle APS = \triangle BPQ$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $PS = PQ$. Аналогично можно доказать, что $PQ = QR = RS = SP$. Следовательно, $PQRS$ - ромб. Т.к. $\triangle APS = \triangle BPQ$, то $\angle ASP = \angle BPQ$. $\angle ASP + \angle PSA = 90^\circ$ $\angle BPQ + \angle PSA = 90^\circ$ $\angle SPQ = 180^\circ - (\angle BPQ + \angle PSA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ Т.к. $PQRS$ - ромб и $\angle SPQ = 90^\circ$, то $PQRS$ - квадрат.