Докажи, что четырёхугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм и докажи, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

482. Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ — середины отрезков $OA, OB, OC, OD$ соответственно. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $OA = OC$ и $OB = OD$. Значит, $OA_1 = OC_1$ и $OB_1 = OD_1$. Также, поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то $O$ — середина $AC$ и $BD$. Следовательно, $A_1C_1$ и $B_1D_1$ также делятся пополам в точке $O$, что делает $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммом. 483. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $PB = QD$. Доказать, что $APCQ$ — параллелограмм. Доказательство: $ABCD$ — параллелограмм, следовательно, $AB \| CD$ и $AB = CD$. Так как $PB = QD$, то $BP = DQ$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CDQ$: $AB = CD$ (как стороны параллелограмма); $\angle ABP = \angle CDQ$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$); $BP = DQ$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABP = \triangle CDQ$ (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $AP = CQ$ и $\angle BAP = \angle DCQ$. $\angle BAP + \angle PAQ = \angle BAD$ и $\angle DCQ + \angle QCA = \angle BCD$. Так как $\angle BAD = \angle BCD$ (как противоположные углы параллелограмма), то $\angle PAQ = \angle QCA$. Значит, $AP \| CQ$. Так как $AP = CQ$ и $AP \| CQ$, то четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм (по признаку). **Ответ:** доказано.