Докажи, что в задачах 482 и 483 заданные четырёхугольники — параллелограммы.

482. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ – середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ соответственно. Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, то $OA = OC$ и $OB = OD$. Тогда $OA_1 = OC_1$ и $OB_1 = OD_1$. Также, так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то точка $O$ – середина $AC$ и $BD$. Следовательно, $A_1C_1$ и $B_1D_1$ также делятся точкой $O$ пополам. Значит, $A_1B_1C_1D_1$ – параллелограмм. 483. Пусть $ABCD$ – параллелограмм и на диагонали $BD$ отмечены точки $P$ и $Q$ такие, что $PB = QD$. Нужно доказать, что $APCQ$ – параллелограмм. Рассмотрим треугольники $BPC$ и $DQA$. У них $BC = AD$ (как противоположные стороны параллелограмма), $\angle PBC = \angle QDA$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$), и $PB = QD$ (по условию). Следовательно, $\triangle BPC = \triangle DQA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $PC = AQ$ и $\angle BCP = \angle DAQ$. Теперь рассмотрим четырёхугольник $APCQ$. У него стороны $PC$ и $AQ$ равны и параллельны (так как $\angle BCP = \angle DAQ$, и они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых $PC$ и $AQ$ и секущей $AC$). Значит, $APCQ$ – параллелограмм (по признаку параллелограмма: если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм).