Построй графики функций $y = \frac{(x^2+6,25)(x+1)}{-1-x}$ и $y=\frac{x^4-17x^2+16}{(x+1)(x-4)}$ и определи, при каких значениях параметра $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку, и при каких значениях параметра $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

74. Давай упростим функцию: $$y = \frac{(x^2 + 6.25)(x+1)}{-1-x} = \frac{(x^2 + 6.25)(x+1)}{-(x+1)}$$ При $x \ne -1$: $$y = -(x^2 + 6.25) = -x^2 - 6.25$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, -6.25)$. Но нужно помнить, что в точке $x = -1$ функция не определена (там «дырка»). Теперь посмотрим, когда прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку. $$kx = -x^2 - 6.25$$ $$x^2 + kx + 6.25 = 0$$ Чтобы было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: $$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 = 0$$ $$k^2 = 25$$ $$k = \pm 5$$ Но! Нужно проверить, что при этих значениях $k$ прямая $y = kx$ не проходит через точку $(-1, -6.25 - 1) = (-1, -7.25)$, где у нас «дырка» в графике. Если $x = -1$, то $y = -k$. Значит, $-k \ne -7.25$, то есть $k \ne 7.25$. Оба значения $k = \pm 5$ нам подходят. **Ответ:** $k = \pm 5$ 75. Давай упростим функцию: $$y = \frac{x^4 - 17x^2 + 16}{(x+1)(x-4)}$$ Заметим, что $x^4 - 17x^2 + 16$ можно разложить на множители как квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $t = x^2$, тогда $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$$ $$t_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1$$ Тогда $x^2 = 16$ или $x^2 = 1$. Значит, $x = \pm 4$ или $x = \pm 1$. $$x^4 - 17x^2 + 16 = (x-4)(x+4)(x-1)(x+1)$$ Тогда $$y = \frac{(x-4)(x+4)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-4)}$$ При $x \ne -1$ и $x \ne 4$: $$y = (x+4)(x-1) = x^2 + 3x - 4$$ Это парабола с вершиной в точке $x_v = -\frac{3}{2}$, $y_v = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) - 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = \frac{9 - 18 - 16}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$. То есть вершина параболы в точке $(-1.5, -6.25)$. Но нужно помнить, что в точках $x = -1$ и $x = 4$ функция не определена (там «дырки»). Теперь посмотрим, когда прямая $y = c$ имеет с графиком ровно одну общую точку. Это произойдет, когда $c$ будет равно $y$-координате вершины параболы, то есть $-6.25$. Но также нужно учитывать «дырки» в графике. При $x = -1$: $y = (-1+4)(-1-1) = 3 \cdot (-2) = -6$. Значит, при $y = -6$ есть «дырка». При $x = 4$: $y = (4+4)(4-1) = 8 \cdot 3 = 24$. Значит, при $y = 24$ есть «дырка». Прямая $y = c$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она касается вершины параболы (кроме точек, где есть «дырки»). Это происходит при $c = -6.25$. **Ответ:** $c = -6.25