Найди угол между диагоналями прямоугольника ABCD, докажи, что треугольник KME равнобедренный, найди сторону KP, если ME = 10 см, найди углы треугольника KMO и периметр параллелограмма.

Разберу задачи для 8 класса. **К-1, В-1** 1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник \(\triangle AOB\) равнобедренный, и углы при основании равны, то есть \(\angle OAB = \angle ABO = 30^\circ\). Угол \(\angle AOB\) равен \(180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Угол между диагоналями – это и есть \(\angle AOB\) или смежный с ним, то есть \(120^\circ\) или \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 2. В параллелограмме $KMNP$ проведена биссектриса угла $K$, которая пересекает сторону $MN$ в точке $E$. a) Биссектриса угла K делит угол K на два равных угла. Обозначим \(\angle MKE = \angle EKP = \alpha\). Так как $KMNP$ параллелограмм, то $KP \parallel MN$. Тогда \(\angle KEM = \angle EKP = \alpha\) как накрест лежащие углы. Получается, что в треугольнике $KME$ углы при основании $KE$ равны, то есть \(\angle MKE = \angle KEM = \alpha\). Следовательно, треугольник $KME$ равнобедренный. b) Так как треугольник $KME$ равнобедренный, то $KM = ME = 10$ см. Периметр параллелограмма равен $2(KM + KP) = 52$ см. Отсюда $KM + KP = 26$ см, значит, $KP = 26 - KM = 26 - 10 = 16$ см. **К-1, В-2** 1. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть \(\angle MNP = 80^\circ\), тогда \(\angle KMO = 90^\circ\). Так как диагональ $NP$ является биссектрисой угла $MNP$, то \(\angle MNO = \frac{1}{2} \angle MNP = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\). В треугольнике \(\triangle MNO\) угол \(\angle MON = 90^\circ\), угол \(\angle MNO = 40^\circ\$, тогда угол \(\angle NMO = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). Углы треугольника $KMO$: \(90^\circ, 50^\circ, 40^\circ\). 2. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $AB = BM$. a) Докажем, что $AM$ – биссектриса угла $BAD$. Допущение: $ABCD$ - параллелограмм. Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AB = CD$ и $BC = AD$. По условию $AB = BM$, следовательно, $BM = CD$. Так как $BC = BM + MC$, то $AD = BM + MC$. Также $AD = AB + MC$. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $AB = BM$, то треугольник $ABM$ равнобедренный, и углы при основании $AM$ равны. Пусть \(\angle BAM = \angle BMA = \beta\). Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AB \parallel CD$, следовательно, \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\). Также \(\angle ABM + \angle MBC = 180^\circ\). Отсюда \(\angle MBC = 180^\circ - \angle ABM\). б) Найдем периметр параллелограмма, если известно, что $CD = 8$ см, $CM = 4$ см. Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AB = CD = 8$ см. $BC = BM + CM$. Так как $AB = BM$, то $BM = 8$ см. $BC = 8 + 4 = 12$ см. $P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ см.