В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, ребро AB=3, ребро AD=5, ребро AA1=8. Точка M - середина ребра BB1. Найди периметр сечения, проходящего через точки A1, D1 и M.

Задание 6. 1. Найдём $A_1M$ и $D_1M$. Так как $M$ - середина $BB_1$, то $B_1M = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1M$. По теореме Пифагора: $$A_1M = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1M^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1C_1M$, где $C_1B_1 = 3$, $C_1M = 4$: $$D_1M = \sqrt{D_1C_1^2 + C_1M^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 2. Определим вид сечения. Сечение $A_1MD_1$ - равнобедренная трапеция, так как $A_1D_1 = MD$ (параллельные стороны) и $A_1M = D_1M$ (боковые стороны). 3. Найдём $A_1D_1$ и $MD$. $A_1D_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$. $MD = \sqrt{BC^2 + MC^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$. 4. Периметр сечения равен: $$P = A_1D_1 + D_1M + MA_1 + A_1D_1 = \sqrt{73} + 5 + 5 + \sqrt{41} = 10 + \sqrt{73} + \sqrt{41} $$ **Ответ:** $10 + \sqrt{73} + \sqrt{41}$