Привет! Давай решим задачи из контрольной работы по математике для 6 класса.
**Контрольная работа №1. Делимость натуральных чисел**
1. Из чисел 378, 576, 893, 4139 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
* На 2 делятся числа, которые заканчиваются на четную цифру: 378 и 576.
* На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9: 378 (3+7+8=18) и 576 (5+7+6=18).
2. Разложите число 1056 на простые множители.
$1056 = 2 \cdot 528 = 2 \cdot 2 \cdot 264 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 132 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^5 \cdot 3 \cdot 11$
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 24 и 42;
Разложим числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОД(24, 42) = $2 \cdot 3 = 6$
2) 280 и 588.
Разложим числа на простые множители:
$280 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$
$588 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$
НОД(280, 588) = $2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 3 и 6; НОК(3, 6) = 6
2) 28 и 9; Разложим числа на простые множители:
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
НОК(28, 9) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$
3) 15 и 20.
Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
НОК(15, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
5. Докажите, что числа 728 и 1275 - взаимно простые.
Разложим числа на простые множители:
$728 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13$
$1275 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 = 3 \cdot 5^2 \cdot 17$
У чисел 728 и 1275 нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 173* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр 1+7+3 = 11. Чтобы сумма делилась на 3, нужно добавить 1, 4 или 7. Значит, вместо звёздочки можно поставить цифры 1, 4 или 7.
7. Дима собирает модели самолётов. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, - на восьми полках. Сколько моделей у Димы, если известно, что их больше 100, но меньше 120?
Нужно найти число, которое делится на 14 и на 8, и находится между 100 и 120. Это число является общим кратным чисел 14 и 8.
$14 = 2 \cdot 7$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
НОК(14, 8) = $2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$
Число моделей должно быть кратно 56. Подходящее число между 100 и 120 - это 112 (56 * 2 = 112).
**Ответ: У Димы 112 моделей самолётов.**
**Контрольная работа №2. Сравнение, сложение и вычитание дробей**
1. Сократите дробь: 1) $\frac{12}{16}$; 2) $\frac{18}{27}$.
1) $\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4}$
2) $\frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{2}{3}$
2. Сравните дроби: 1) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$; 2) $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{8}$.
1) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю 8: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$. Так как $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$, то $\frac{5}{8} < \frac{3}{4}$.
2) $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{8}$. Приведем к общему знаменателю 72: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{32}{72}$ и $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$. Так как $\frac{32}{72} > \frac{27}{72}$, то $\frac{4}{9} > \frac{3}{8}$.
3. Вычислите:
1) $\frac{4}{15} + \frac{3}{4}$;
$\frac{4}{15} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{16}{60} + \frac{45}{60} = \frac{16 + 45}{60} = \frac{61}{60} = 1 \frac{1}{60}$
2) $\frac{5}{6} - \frac{9}{14}$;
$\frac{5}{6} - \frac{9}{14} = \frac{5 \cdot 14}{6 \cdot 14} - \frac{9 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{70}{84} - \frac{54}{84} = \frac{70 - 54}{84} = \frac{16}{84} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 21} = \frac{4}{21}$
3) $4 \frac{4}{7} + 6 \frac{1}{4}$;
$4 \frac{4}{7} + 6 \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{7} + 6 + \frac{1}{4} = 10 + \frac{4}{7} + \frac{1}{4} = 10 + \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = 10 + \frac{16}{28} + \frac{7}{28} = 10 + \frac{16 + 7}{28} = 10 + \frac{23}{28} = 10 \frac{23}{28}$
4) $5 \frac{7}{8} - 3 \frac{5}{6}$.
$5 \frac{7}{8} - 3 \frac{5}{6} = 5 + \frac{7}{8} - (3 + \frac{5}{6}) = 5 + \frac{7}{8} - 3 - \frac{5}{6} = 2 + \frac{7}{8} - \frac{5}{6} = 2 + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 2 + \frac{21}{24} - \frac{20}{24} = 2 + \frac{21 - 20}{24} = 2 + \frac{1}{24} = 2 \frac{1}{24}$
