Реши уравнение: а) 10y/(9y^2-4)+(y-5)/(3y+2)=(y-3)/(2-3y); б) (x^2+5x+6)(x^2+5x+4)=840. Найди координаты точек пересечения графиков функций y=x/(x-3) и y=(3x-4)/(2x)

4. a) Давай решим уравнение: $\frac{10y}{9y^2-4} + \frac{y-5}{3y+2} = \frac{y-3}{2-3y}$. Заметим, что $9y^2 - 4 = (3y - 2)(3y + 2)$ и $2 - 3y = -(3y - 2)$. Тогда уравнение можно переписать как: $\frac{10y}{(3y - 2)(3y + 2)} + \frac{y - 5}{3y + 2} = -\frac{y - 3}{3y - 2}$. Теперь приведём всё к общему знаменателю $(3y - 2)(3y + 2)$: $\frac{10y + (y - 5)(3y - 2)}{(3y - 2)(3y + 2)} = \frac{-(y - 3)(3y + 2)}{(3y - 2)(3y + 2)}$. Упростим числители: $10y + (3y^2 - 2y - 15y + 10) = -(3y^2 + 2y - 9y - 6)$. $10y + 3y^2 - 17y + 10 = -3y^2 + 7y + 6$. Перенесём всё в левую часть: $3y^2 - 17y + 10 + 3y^2 - 7y - 6 + 10y = 0$. $6y^2 - 14y + 4 = 0$. Разделим на 2: $3y^2 - 7y + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$. Корни: $y_1 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$, $y_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $y$. Если $y = 2$, то $3y - 2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4 \neq 0$ и $3y + 2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8 \neq 0$. Если $y = \frac{1}{3}$, то $3y - 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 = -1 \neq 0$ и $3y + 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 3 \neq 0$. **Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = \frac{1}{3}$** б) Давай решим уравнение $(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x + 4) = 840$. Пусть $t = x^2 + 5x$. Тогда уравнение примет вид: $(t + 6)(t + 4) = 840$. Раскроем скобки: $t^2 + 4t + 6t + 24 = 840$. $t^2 + 10t + 24 - 840 = 0$. $t^2 + 10t - 816 = 0$. Решим квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-816) = 100 + 3264 = 3364$. $t_1 = \frac{-10 + \sqrt{3364}}{2} = \frac{-10 + 58}{2} = \frac{48}{2} = 24$. $t_2 = \frac{-10 - \sqrt{3364}}{2} = \frac{-10 - 58}{2} = \frac{-68}{2} = -34$. Теперь вернёмся к переменной $x$. У нас есть два случая: 1) $x^2 + 5x = 24$. $x^2 + 5x - 24 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$. $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$. $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$. 2) $x^2 + 5x = -34$. $x^2 + 5x + 34 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 25 - 136 = -111$. Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет. **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -8$** 5. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x}{x - 3}$ и $y = \frac{3x - 4}{2x}$, нужно приравнять выражения для $y$: $\frac{x}{x - 3} = \frac{3x - 4}{2x}$. Теперь решим это уравнение. Домножим обе части на $2x(x - 3)$: $2x^2 = (3x - 4)(x - 3)$. $2x^2 = 3x^2 - 9x - 4x + 12$. $2x^2 = 3x^2 - 13x + 12$. Перенесём всё в одну сторону: $0 = x^2 - 13x + 12$. Решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 12 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121$. $x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2} = \frac{13 + 11}{2} = \frac{24}{2} = 12$. $x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2} = \frac{13 - 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждой точки пересечения: 1) Если $x = 12$, то $y = \frac{12}{12 - 3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. 2) Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{1 - 3} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. **Ответ: (12; 4/3), (1; -1/2)**