Реши контрольную работу по теме «Четырехугольники» 1 вариант

1. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, угол $ABO = 36^\circ$. Найдем угол $AOD$. В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, $BO = AO$, и треугольник $ABO$ равнобедренный. Тогда $\angle BAO = \angle ABO = 36^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - \angle BAO - \angle ABO = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$. Углы $AOD$ и $AOB$ смежные, значит, их сумма равна $180^\circ$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. **Ответ: $\angle AOD = 72^\circ$** 2. Найдем углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен $20^\circ$. В прямоугольной трапеции два угла прямые (равны $90^\circ$). Пусть меньший угол равен $20^\circ$. Тогда больший угол при той же боковой стороне равен $180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$. **Ответ: углы трапеции $20^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$, $160^\circ$.** 3. Диагонали ромба $KMPH$ пересекаются в точке $O$. Найдем углы треугольника $KOM$, если угол $MHP = 80^\circ$. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Значит, $\angle KOP = 90^\circ$, $\angle M = \angle H = 80^\circ$, $\angle OKM = \frac{1}{2} \angle H = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle OMK = 180^\circ - \angle KOP - \angle OKM = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. **Ответ: углы треугольника $KOM$ равны $90^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$.** 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна $96^\circ$. Найдем углы трапеции. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Значит, каждый угол при большем основании равен $\frac{96^\circ}{2} = 48^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Тогда каждый угол при меньшем основании равен $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$. **Ответ: углы трапеции равны $48^\circ$, $48^\circ$, $132^\circ$, $132^\circ$.** 5. Периметр параллелограмма равен 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдем длины сторон параллелограмма. Пусть меньшая сторона равна $x$ см, тогда большая сторона равна $(x + 5)$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + x + 5)$. Составим уравнение: $2(x + x + 5) = 50$ $2x + 5 = 25$ $2x = 20$ $x = 10$ Значит, меньшая сторона равна 10 см, большая сторона равна $10 + 5 = 15$ см. **Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.** 6. В параллелограмме $KMPH$ проведена биссектриса угла $MKP$, которая пересекает сторону $MH$ в точке $E$. а) Докажем, что треугольник $KME$ равнобедренный. б) найдем периметр $KMPH$, если $ME = 10$ см, $EH = 6$ см. а) Так как $KP \parallel MH$, то $\angle KEM = \angle PKE$ как накрест лежащие. $KE$ – биссектриса угла $MKP$, следовательно, $\angle MKE = \angle PKE$. Значит, $\angle KEM = \angle MKE$, и треугольник $KME$ равнобедренный. б) $ME = 10$ см, $EH = 6$ см, тогда $MH = ME + EH = 10 + 6 = 16$ см. Так как $KME$ – равнобедренный, то $KM = ME = 10$ см. Периметр параллелограмма равен $2(KM + MH) = 2(10 + 16) = 2 \cdot 26 = 52$ см. **Ответ: периметр $KMPH$ равен 52 см.**