Реши логарифмические неравенства: 45.3 a) log5(3x + 1) < 2

Конечно, давай решим эти неравенства! 45.3 a) $\log_5(3x + 1) < 2$ * ОДЗ: $3x + 1 > 0$, значит, $x > -\frac{1}{3}$ * $\log_5(3x + 1) < \log_5(25)$ * $3x + 1 < 25$ * $3x < 24$ * $x < 8$ * С учетом ОДЗ: $-\frac{1}{3} < x < 8$ **Ответ**: $x \in (-\frac{1}{3}; 8)$ б) $\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge -2$ * ОДЗ: $\frac{x}{3} > 0$, значит, $x > 0$ * $\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge \log_{0.5} (0.5)^{-2}$ или $\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge \log_{0.5} 4$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $\frac{x}{3} \le 4$ * $x \le 12$ * С учетом ОДЗ: $0 < x \le 12$ **Ответ**: $x \in (0; 12]$ в) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > 1$ * ОДЗ: $\frac{x}{5} > 0$, значит, $x > 0$ * $\log_{\frac{1}{4}} \frac{x}{5} > \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $\frac{x}{5} < \frac{1}{4}$ * $x < \frac{5}{4}$ * С учетом ОДЗ: $0 < x < \frac{5}{4}$ **Ответ**: $x \in (0; \frac{5}{4})$ г) $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4$ * ОДЗ: $2x - 3 > 0$, значит, $x > \frac{3}{2}$ * $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4$ или $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}} 9$ * $2x - 3 < 9$ * $2x < 12$ * $x < 6$ * С учетом ОДЗ: $\frac{3}{2} < x < 6$ **Ответ**: $x \in (\frac{3}{2}; 6)$ 45.4 a) $\log_5 x > \log_5 (3x - 4)$ * ОДЗ: $x > 0$ и $3x - 4 > 0$, значит, $x > \frac{4}{3}$ * $x > 3x - 4$ * $-2x > -4$ * $x < 2$ * С учетом ОДЗ: $\frac{4}{3} < x < 2$ **Ответ**: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$ б) $\log_{0.6}(2x - 1) < \log_{0.6} x$ * ОДЗ: $2x - 1 > 0$ и $x > 0$, значит, $x > \frac{1}{2}$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $2x - 1 > x$ * $x > 1$ * С учетом ОДЗ: $x > 1$ **Ответ**: $x \in (1; +\infty)$ в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}}(4x)$ * ОДЗ: $5x - 9 > 0$ и $4x > 0$, значит, $x > \frac{9}{5}$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $5x - 9 \le 4x$ * $x \le 9$ * С учетом ОДЗ: $\frac{9}{5} < x \le 9$ **Ответ**: $x \in (\frac{9}{5}; 9]$ г) $\log_3(8 - 6x) \le \log_3(2x)$ * ОДЗ: $8 - 6x > 0$ и $2x > 0$, значит, $0 < x < \frac{4}{3}$ * $8 - 6x \le 2x$ * $8 \le 8x$ * $x \ge 1$ * С учетом ОДЗ: $1 \le x < \frac{4}{3}$ **Ответ**: $x \in [1; \frac{4}{3})$ 45.5 a) $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$ * ОДЗ: $5x - 9 > 0$ и $3x + 1 > 0$, значит, $x > \frac{9}{5}$ * $5x - 9 \le 3x + 1$ * $2x \le 10$ * $x \le 5$ * С учетом ОДЗ: $\frac{9}{5} < x \le 5$ **Ответ**: $x \in (\frac{9}{5}; 5]$ б) $\log_{0.4}(12x + 2) \ge \log_{0.4}(10x + 16)$ * ОДЗ: $12x + 2 > 0$ и $10x + 16 > 0$, значит, $x > -\frac{1}{6}$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $12x + 2 \le 10x + 16$ * $2x \le 14$ * $x \le 7$ * С учетом ОДЗ: $-\frac{1}{6} < x \le 7$ **Ответ**: $x \in (-\frac{1}{6}; 7]$ в) $\log_{\frac{1}{3}}(-x) > \log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x)$ * ОДЗ: $-x > 0$ и $4 - 2x > 0$, значит, $x < 0$ и $x < 2$. Итого, $x < 0$ * Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется: * $-x < 4 - 2x$ * $x < 4$ * С учетом ОДЗ: $x < 0$ **Ответ**: $x \in (-\infty; 0)$ г) $\log_{2.5}(6 - x) < \log_{2.5}(4 - 3x)$ * ОДЗ: $6 - x > 0$ и $4 - 3x > 0$, значит, $x < 6$ и $x < \frac{4}{3}$. Итого, $x < \frac{4}{3}$ * $6 - x < 4 - 3x$ * $2x < -2$ * $x < -1$ * С учетом ОДЗ: $x < -1$ **Ответ**: $x \in (-\infty; -1)$