Реши задачу, составив математическую модель: Теплоход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найди собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Пусть $x$ км/ч – собственная скорость теплохода. Тогда скорость теплохода против течения реки равна $(x - 6,5)$ км/ч, а по течению – $(x + 6,5)$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, составляет $\frac{4}{x - 6,5}$ ч, а на путь по течению – $\frac{33}{x + 6,5}$ ч. Общее время в пути – 1 час. Составим уравнение: $$\frac{4}{x - 6,5} + \frac{33}{x + 6,5} = 1$$ Приведем к общему знаменателю: $$4(x + 6,5) + 33(x - 6,5) = (x - 6,5)(x + 6,5)$$ $$4x + 26 + 33x - 214,5 = x^2 - 42,25$$ $$37x - 188,5 = x^2 - 42,25$$ $$x^2 - 37x + 146,25 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146,25 = 1369 - 585 = 784$ $x_1 = \frac{37 + \sqrt{784}}{2} = \frac{37 + 28}{2} = 32,5$ $x_2 = \frac{37 - \sqrt{784}}{2} = \frac{37 - 28}{2} = 4,5$ Так как скорость теплохода не может быть меньше скорости течения, то $x = 32,5$ км/ч. **Ответ: 32,5 км/ч**